微积分学示例

$x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$

解题步骤 1

将 $x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} (2 x^{2} + 3 x) d x$

解题步骤 4

展开 $x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (3 x) d x$

解题步骤 4.2

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 2 \cdot x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) d x$

解题步骤 4.3

将 $x^{2}$ 和 $3$ 重新排序。

$\int 2 \cdot x^{2} x^{2} + 3 \cdot x^{2} x d x$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{2 + 2} + 3 x^{2} x d x$

解题步骤 4.5

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 2 x^{4} + 3 x^{2} x d x$

解题步骤 4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) d x$

解题步骤 4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{4} + 3 x^{2 + 1} d x$

解题步骤 4.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 x^{4} + 3 x^{3} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{3} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{3} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$2 (\frac{1}{5}) x^{5} + 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{2}{5} x^{5} + 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = x^{2} (2 x^{2} + 3 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + C$

微积分学 示例

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