微积分学示例

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.1.2

从 $x^{\frac{1}{2}} - x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.1.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.1.2.3

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

解题步骤 4.3.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 5

通过将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 6

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7.2

将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7.3

提取负因数。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

解题步骤 7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7.5

在公分母上合并分子。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

解题步骤 7.6

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

解题步骤 7.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

解题步骤 7.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

解题步骤 7.7.2.2

约去公因数。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

解题步骤 7.7.2.3

重写表达式。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

解题步骤 7.7.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

解题步骤 7.8

将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $- x^{- 1}$ 重新排序。

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 10

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 12.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

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