微积分学示例

$\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 1

将 $\cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ 书写为一个函数。

$f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \cot (x) (\sec (x) - \tan (x)) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int \cot (x) \sec (x) + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 4.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.2.1

将 $\cot (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 4.3

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\cot (x)$ 和 $- \tan (x)$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x) \cot (x) d x$

解题步骤 4.3.2

添加圆括号。

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\tan (x) \cot (x)) d x$

解题步骤 4.3.3

将 $\tan (x)$ 和 $\cot (x)$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\cot (x) \tan (x)) d x$

解题步骤 4.3.4

将 $\cot (x) (- \tan (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 4.3.5

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\int \csc (x) - 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int \csc (x) - 1 d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \csc (x) d x + \int - 1 d x$

解题步骤 6

$\csc (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 。

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C + \int - 1 d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C - x + C$

解题步骤 8

化简。

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \cot (x) (\sec (x) - \tan (x))$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - x + C$

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