微积分学示例

$\sec^{3} (θ)$

解题步骤 1

将 $\sec^{3} (θ)$ 书写为一个函数。

$f (θ) = \sec^{3} (θ)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (θ)$ 的不定积分求函数 $F (θ)$ 。

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (θ) = \int \sec^{3} (θ) d θ$

解题步骤 4

从 $\sec^{3} (θ)$ 中分解出因数 $\sec (θ)$ 。

$\int \sec (θ) \sec^{2} (θ) d θ$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (θ)$ ， $d v = \sec^{2} (θ)$ 。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

解题步骤 6

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) d θ$

解题步骤 7

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \tan^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

解题步骤 9.2

将 $\tan^{2} (θ)$ 和 $\sec (θ)$ 重新排序。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \tan^{2} (θ) d θ$

解题步骤 10

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (θ)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (θ)$ 的形式。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec^{2} (θ)) d θ$

解题步骤 11

通过相乘进行化简。

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解题步骤 11.1

将幂重写为乘积形式。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) (- 1 + \sec (θ) \sec (θ)) d θ$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int \sec (θ) \cdot - 1 + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

解题步骤 11.3

将 $\sec (θ)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \cdot \sec (θ) + \sec (θ) (\sec (θ) \sec (θ)) d θ$

解题步骤 12

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \sec (θ) d θ$

解题步骤 13

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \sec (θ) d θ$

解题步骤 14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) d θ$

解题步骤 15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec (θ) d θ$

解题步骤 16

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) d θ$

解题步骤 17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + {\sec (θ)}^{2 + 1} d θ$

解题步骤 18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) \tan (θ) - \int - 1 \sec (θ) + \sec^{3} (θ) d θ$

解题步骤 19

将单个积分拆分为多个积分。

$\sec (θ) \tan (θ) - (\int - 1 \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

解题步骤 20

由于 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sec (θ) \tan (θ) - (- \int \sec (θ) d θ + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

解题步骤 21

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的积分为 $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)$ 。

$\sec (θ) \tan (θ) - (- (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) + \int \sec^{3} (θ) d θ)$

解题步骤 22

通过相乘进行化简。

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解题步骤 22.1

运用分配律。

$\sec (θ) \tan (θ) - - (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

解题步骤 22.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C) - \int \sec^{3} (θ) d θ$

解题步骤 23

求解 $\int \sec^{3} (θ) d θ$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (θ) d θ$ = $\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2}$ 。

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 1 (\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C)}{2} + C$

解题步骤 24

将 $\ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |) + C}{2} + C$

解题步骤 25

化简。

$\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

解题步骤 26

答案是函数 $f (θ) = \sec^{3} (θ)$ 的不定积分。

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} (\sec (θ) \tan (θ) + \ln (| \sec (θ) + \tan (θ) |)) + C$

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