微积分学示例

$x {(4 x - 1)}^{4}$

解题步骤 1

将 $x {(4 x - 1)}^{4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{4} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用二项式定理。

$\int x ({(4 x)}^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x (4^{4} x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.2

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.3

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{4} + 4 (4^{3} x^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.4

通过指数相加将 $4$ 乘以 $4^{3}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

移动 $4^{3}$ 。

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.4.2

将 $4^{3}$ 乘以 $4$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x (256 x^{4} + 4^{3 + 1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.4.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int x (256 x^{4} + 4^{4} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.5

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} + 256 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.6

将 $- 1$ 乘以 $256$ 。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.7

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (4^{2} x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (16 x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.9

将 $16$ 乘以 $6$ 。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} \cdot 1 + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.11

将 $96$ 乘以 $1$ 。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.12

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.13

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.14

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + {(- 1)}^{4}) d x$

解题步骤 4.2.15

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + 1) d x$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int x (256 x^{4}) + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{4} + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x \cdot 1 d x$

解题步骤 4.4.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$\int 256 (x^{4} x) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.1.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 (x^{4} x^{1}) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{4 + 1} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{5} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x^{1}) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{3 + 1} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x) - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x^{1}) - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{2 + 1} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x \cdot x + x d x$

解题步骤 4.5.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

移动 $x$ 。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 (x \cdot x) + x d x$

解题步骤 4.5.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x^{2} + x d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 256 x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 6

由于 $256$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $256$ 移到积分外。

$256 \int x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 8

由于 $- 256$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 256$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 \int x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 10

由于 $96$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $96$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 \int x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 12

由于 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 16$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 \int x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

解题步骤 14

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 15.1.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 15.2

化简。

$\frac{128 x^{6}}{3} - \frac{256 x^{5}}{5} + 24 x^{4} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

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