微积分学示例

$1 + \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1

将 $1 + \sin (x) \cos (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 1 + \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 1 + \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$x + C + \int \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 6

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C + \int u d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$x + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 8

化简。

$x + \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 9

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 1 + \sin (x) \cos (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

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