微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.2

对于根式，当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.10

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{1}{e^{x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$

解题步骤 6.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{x}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\sqrt{x} e^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例