微积分学示例

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 10 \cdot - 4 = - 40$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

重新排序项。

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 4 b^{2} + 3 a b} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.2

将 $- 4 b^{2}$ 和 $3 a b$ 重新排序。

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $3 a b$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.4

把 $3$ 重写为 $- 5$ 加 $8$

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + (- 5 + 8) (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.5

运用分配律。

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 5 (a b) + 8 (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.1.6

移动括号。

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 5 a b + 8 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{10 a + 3 b}{(10 a^{2} - 5 a b) + 8 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{10 a + 3 b}{5 a (2 a - 1 b) + 4 b (2 a - b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 a - 1 b$ 来因式分解多项式。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - 1 b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.1.2

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $25 a^{2}$ 重写为 ${(5 a)}^{2}$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{{(5 a)}^{2} - 16 b^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $16 b^{2}$ 重写为 ${(4 b)}^{2}$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{{(5 a)}^{2} - {(4 b)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5 a$ 和 $b = 4 b$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - (4 b))}$

解题步骤 1.2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b}$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} \cdot \frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ 。

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} \cdot \frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)}$ 乘以 $\frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b}$ 。

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$ 乘以 $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ 。

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{(a + 2 b) (2 a - b)}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b) (2 a - b)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(5 a + 4 b) (5 a - 4 b) (2 a - b)$ 的因式。

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{(a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{10 a (5 a - 4 b) + 3 b (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{10 a (5 a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{10 a (5 a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{10 \cdot 5 a \cdot a + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

移动 $a$ 。

$\frac{10 \cdot 5 (a \cdot a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{10 \cdot 5 a^{2} + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$\frac{50 a^{2} + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} + 10 \cdot - 4 a b + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $10$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 3 \cdot 5 b a + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.7

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 b \cdot b - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.9

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 6.2.1.9.1

移动 $b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 (b \cdot b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.9.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.1.10

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 40 a b$ 和 $15 b a$ 相加。

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解题步骤 6.2.2.1

移动 $b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 a b - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 40 a b$ 和 $15 a b$ 相加。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} + (- a - (2 b)) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} + (- a - 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- a - 2 b) (2 a - b)$ 。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a - b) - 2 b (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a) - a (- b) - 2 b (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a) - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 a \cdot a - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 6.6.1.2.1

移动 $a$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 (a \cdot a) - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 a^{2} - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + 1 a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.6

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 2 \cdot 2 b a - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.8

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 b \cdot b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.10

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 6.6.1.10.1

移动 $b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 (b \cdot b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.10.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.1.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.2

从 $a b$ 中减去 $4 b a$ 。

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解题步骤 6.6.2.1

移动 $b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.6.2.2

从 $a b$ 中减去 $4 a b$ 。

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.7

从 $50 a^{2}$ 中减去 $2 a^{2}$ 。

$\frac{48 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.8

从 $- 25 a b$ 中减去 $3 a b$ 。

$\frac{48 a^{2} - 12 b^{2} - 28 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.9

将 $- 12 b^{2}$ 和 $2 b^{2}$ 相加。

$\frac{48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10

以因式分解的形式重写 $48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b$ 。

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解题步骤 6.10.1

从 $48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.10.1.1

从 $48 a^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (24 a^{2}) - 10 b^{2} - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.1.2

从 $- 10 b^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2}) - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.1.3

从 $- 28 a b$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.1.4

从 $2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (24 a^{2} - 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.1.5

从 $2 (24 a^{2} - 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (24 a^{2} - 5 b^{2} - 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2

分组因式分解。

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解题步骤 6.10.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 24 \cdot - 5 = - 120$ 并且它们的和为 $b = - 14$ 。

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解题步骤 6.10.2.1.1

将 $- 5 b^{2}$ 和 $- 14 a b$ 重新排序。

$\frac{2 (24 a^{2} - 14 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.1.2

从 $- 14 a b$ 中分解出因数 $- 14$ 。

$\frac{2 (24 a^{2} - 14 (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.1.3

把 $- 14$ 重写为 $6$ 加 $- 20$

$\frac{2 (24 a^{2} + (6 - 20) (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.1.4

运用分配律。

$\frac{2 (24 a^{2} + 6 (a b) - 20 (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.1.5

移动括号。

$\frac{2 (24 a^{2} + 6 a b - 20 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.10.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{2 ((24 a^{2} + 6 a b) - 20 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{2 (6 a (4 a + b) - 5 b (4 a + b))}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

解题步骤 6.10.2.3

通过因式分解出最大公因数 $4 a + b$ 来因式分解多项式。

$\frac{2 ((4 a + b) (6 a - 5 b))}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

$\frac{2 (4 a + b) (6 a - 5 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

微积分学 示例

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