微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ 的极限值。

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

解题步骤 2.2

将 $\cot (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

解题步骤 2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

解题步骤 4.1.1.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

解题步骤 4.1.1.3

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 4.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 4.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 4.1.3.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 4.1.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

解题步骤 4.2

将 $- \csc^{2} (x) x$ 重写为 $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.3

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.3.1.2.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.3.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

解题步骤 4.3.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.3.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.3.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.3.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.3.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 4.3.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 4.3.3.5.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 4.3.3.6

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 4.3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 4.3.3.8

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

解题步骤 4.3.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

解题步骤 4.3.3.10

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 4.3.3.11

化简。

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解题步骤 4.3.3.11.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

解题步骤 4.3.3.11.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 4.3.3.11.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.3.3.11.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.11.4.1

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.3.3.11.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.3.3.11.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 4.3.3.11.5

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.4

分离分数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 转换成 $\csc (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

解题步骤 4.3.6

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

解题步骤 4.4

因为函数 $\csc (2 x)$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 1$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

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解题步骤 4.4.1

思考去掉常数倍数 $- 1$ 后的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

解题步骤 4.4.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\infty$

解题步骤 4.4.3

因为函数 $\csc (2 x)$ 趋于 $\infty$ ，所以负常数 $- 1$ 乘以函数趋于 $- \infty$ 。

$- \infty$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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