微积分学示例

$lim_{x \to \infty} x \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\infty \cdot \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

解题步骤 2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\infty \cdot \cos (0)$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\infty \cdot 1$

解题步骤 3.2

将 $\infty$ 乘以 $1$ 。

$\infty$

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