微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

解题步骤 1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

解题步骤 1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

解题步骤 1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.3.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3.4

重新排序 $\cos (x^{2}) (2 x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 3.5.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 3.5.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

解题步骤 5.4

组合 $\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x^{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

解题步骤 6

将 $\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ 转换成 $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ 。

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

解题步骤 7

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

解题步骤 8

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

解题步骤 9

制作一个表格展示函数 $\cos (x) x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cos (x) x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 11

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

解题步骤 12

制作一个表格展示函数 $\cos (x) x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

解题步骤 13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cos (x) x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 14

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

微积分学 示例

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