微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

解题步骤 1.3.1.2

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{\sin (5 π)}$

解题步骤 1.3.3.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{0}{\sin (π)}$

解题步骤 1.3.3.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.3.3.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 π x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 π x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

解题步骤 3.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $5 π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

解题步骤 3.4

因为 $5 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 π x$ 对 $x$ 的导数是 $5 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 3.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π)}$

解题步骤 3.7

去掉圆括号。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \cdot 5 π}$

解题步骤 3.8

将 $5$ 移到 $\cos (5 π x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cdot \cos (5 π x) π}$

解题步骤 3.9

将 $5$ 乘以 $\cos (5 π x)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cos (5 π x) π}$

解题步骤 3.10

重新排序 $5 \cos (5 π x) π$ 的因式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 π \cos (5 π x)}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (5 π \cos (5 π x))}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{5 π}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5 π} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (\cos (5 π x))}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

解题步骤 10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

解题步骤 11

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 12

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 13.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$

解题步骤 13.2

将 $\frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$ 转换成 $\sec (5 π \cdot 1)$ 。

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π \cdot 1)$

解题步骤 13.3

将 $5 π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π)$

解题步骤 13.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{5 π} \sec (π)$

解题步骤 13.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{1}{5 π} (- \sec (0))$

解题步骤 13.6

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{5 π} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{5 π} \cdot - 1$

解题步骤 13.8

组合 $\frac{1}{5 π}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{5 π}$

解题步骤 13.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5 π}$

微积分学 示例

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