微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{18}}}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 1.2

因为指数 $\frac{x}{18}$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{\frac{x}{18}}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{18}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{18}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{x}{18}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

因为 $\frac{1}{18}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{18}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} (\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{18}$ 和 $e^{\frac{x}{18}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.6

将 $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{1}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1$

解题步骤 5

将 $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$

解题步骤 6

因为函数 $e^{\frac{1}{18} x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $\frac{1}{18}$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 6.1

思考去掉常数倍数 $\frac{1}{18}$ 后的极限。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{18} x}$

解题步骤 6.2

因为指数 $\frac{1}{18} x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{\frac{1}{18} x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\infty$

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