微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} (x)}{x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{-1} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\tan^{-1} (x)$ 的极限值。

$\frac{\tan^{-1} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.2

$\tan^{-1} (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2

$\tan^{-1} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{1}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot 1$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

解题步骤 5.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

解题步骤 5.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 5.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 5.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{0^{2} + 1}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分母。

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解题步骤 7.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 1}$

解题步骤 7.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 7.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

微积分学 示例

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