微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{3}{4 x \csc (3 x)}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{x \csc (3 x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \csc (3 x)}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x \csc (3 x)}$

解题步骤 4

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (3 x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $x \csc (3 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.33838633 \\ - 0.01 & 0.33338333 \\ - 0.001 & 0.33333383 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.333$ 。因此， $x \csc (3 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.333$ 。

$0.333$

解题步骤 7

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (3 x)$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数 $x \csc (3 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.33838633 \\ 0.01 & 0.33338333 \\ 0.001 & 0.33333383 \end{array}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.333$ 。因此， $x \csc (3 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.333$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{0.333}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

用 $1$ 除以 $0.333$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 3.\overline{003}$

解题步骤 10.2

乘以 $\frac{3}{4} \cdot 3.\overline{003}$ 。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $3.\overline{003}$ 。

$\frac{3 \cdot 3.\overline{003}}{4}$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $3.\overline{003}$ 。

$\frac{9.\overline{009}}{4}$

解题步骤 10.3

用 $9.\overline{009}$ 除以 $4$ 。

$2.\overline{252}$

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