微积分学示例

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $U e^{t} + V e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ 。

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $U$ 对于 $t$ 是常数，所以 $U e^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 。

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $V$ 对于 $t$ 是常数，所以 $V e^{- t}$ 对 $t$ 的导数是 $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ 。

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- t$ 。

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

解题步骤 1.1.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

解题步骤 1.1.3.7

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序项。

$e^{t} U - e^{- t} V$

解题步骤 1.1.4.2

将 $e^{t} U - e^{- t} V$ 中的因式重新排序。

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

解题步骤 1.2

$F (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $U e^{t} - V e^{- t}$ 。

$U e^{t} - V e^{- t}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 的值。

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