微积分学示例

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \frac{π x}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π x}{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

解题步骤 1.1.1.2

$\sec (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec (u) \tan (u)$ 。

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $\frac{π x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.2.2

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $\sec (\frac{π x}{4})$ 。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

组合 $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ 和 $\tan (\frac{π x}{4})$ 。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4

将 $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ 。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $\sec (\frac{π x}{4})$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\sec (\frac{π x}{4})$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

解题步骤 2.3.2.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 2.3.3

将 $\tan (\frac{π x}{4})$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\tan (\frac{π x}{4})$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

解题步骤 2.3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π x}{4} = 0$

解题步骤 2.3.3.2.3

将分子设为等于零。

$π x = 0$

解题步骤 2.3.3.2.4

将 $π x = 0$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1

将 $π x = 0$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.4.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{π}$

解题步骤 2.3.3.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.4.3.1

用 $0$ 除以 $π$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.3.2.5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{π x}{4} = π + 0$

解题步骤 2.3.3.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.6.1

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

解题步骤 2.3.3.2.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.2.1

化简 $\frac{4}{π} (π + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.2.1.1

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = \frac{4}{π} π$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x = \frac{4}{π} π$

解题步骤 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x = 4$

解题步骤 2.3.3.2.7

求 $\tan (\frac{π x}{4})$ 的周期。

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解题步骤 2.3.3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.3.3.2.7.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

解题步骤 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ 约为 $0.78539816$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

解题步骤 2.3.3.2.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \frac{4}{π}$

解题步骤 2.3.3.2.7.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.7.5.1

约去公因数。

$π \frac{4}{π}$

解题步骤 2.3.3.2.7.5.2

重写表达式。

$4$

解题步骤 2.3.3.2.8

$\tan (\frac{π x}{4})$ 函数的周期为 $4$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4$ 弧度将重复出现。

$x = 4 n, 4 + 4 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4 n, 4 + 4 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

合并答案。

$x = 4 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (\frac{π x}{4})$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 3.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 3.2.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

化简 $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

运用分配律。

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.3

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.3.1

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.3.2

重写表达式。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.4.1

从 $π n$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

解题步骤 3.2.2.2.1.4.2

约去公因数。

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

解题步骤 3.2.2.2.1.4.3

重写表达式。

$x = 2 + 4 n$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 和 $4 n$ 重新排序。

$x = 4 n + 2$

解题步骤 3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = 4 n + 2}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sec (\frac{π x}{4})$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $π (0)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

解题步骤 4.1.2.1.2.4

用 $π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\sec (π \cdot (0))$

解题步骤 4.1.2.2

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\sec (0)$

解题步骤 4.1.2.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$\sec (π)$

解题步骤 4.2.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- \sec (0)$

解题步骤 4.2.2.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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