微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{5} x^{3} - 6$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{5} x^{3} - 6$ 写为等式。

$y = \frac{1}{5} x^{3} - 6$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{5} y^{3} - 6$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{5} y^{3} - 6 = x$ 。

$\frac{1}{5} y^{3} - 6 = x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{y^{3}}{5} - 6 = x$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $6$ 。

$\frac{y^{3}}{5} = x + 6$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 \frac{y^{3}}{5} = 5 (x + 6)$

解题步骤 3.5

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1.1

约去公因数。

$5 \frac{y^{3}}{5} = 5 (x + 6)$

解题步骤 3.5.1.1.2

重写表达式。

$y^{3} = 5 (x + 6)$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $5 (x + 6)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

运用分配律。

$y^{3} = 5 x + 5 \cdot 6$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$y^{3} = 5 x + 30$

解题步骤 3.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{5 x + 30}$

解题步骤 3.7

从 $5 x + 30$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.7.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt[3]{5 (x) + 30}$

解题步骤 3.7.2

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt[3]{5 x + 5 \cdot 6}$

解题步骤 3.7.3

从 $5 x + 5 \cdot 6$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \sqrt[3]{5 (x + 6)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{5 (x + 6)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{5 (x + 6)}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{5} x^{3} - 6$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{5 ((\frac{1}{5} x^{3} - 6) + 6)}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{5 (\frac{x^{3}}{5} - 6 + 6)}$

解题步骤 5.2.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{5 (\frac{x^{3}}{5} + 0)}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $\frac{x^{3}}{5}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{5 (\frac{x^{3}}{5})}$

解题步骤 5.2.5

组合 $5$ 和 $\frac{x^{3}}{5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3}}{5}}$

解题步骤 5.2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{5 x^{3}}{5}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{5 x^{3}}{5}}$

解题步骤 5.2.6.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

解题步骤 5.2.6.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.2.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{1}{5} x^{3} - 6) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{5 (x + 6)})$ 。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot {(\sqrt[3]{5 (x + 6)})}^{3} - 6$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 ${\sqrt[3]{5 (x + 6)}}^{3}$ 重写为 $5 (x + 6)$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5 (x + 6)}$ 重写成 ${(5 (x + 6))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot {({(5 (x + 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 6$

解题步骤 5.3.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot {(5 (x + 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 6$

解题步骤 5.3.3.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot {(5 (x + 6))}^{\frac{3}{3}} - 6$

解题步骤 5.3.3.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot {(5 (x + 6))}^{\frac{3}{3}} - 6$

解题步骤 5.3.3.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x + 6)) - 6$

解题步骤 5.3.3.1.5

化简。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x + 6)) - 6$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x + 6)) - 6$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = x + 6 - 6$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 6 - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[3]{5 (x + 6)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{5 (x + 6)}$ 为 $f (x) = \frac{1}{5} x^{3} - 6$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{5 (x + 6)}$

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