微积分学示例

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{- x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 1.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 1.1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 1.1.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

解题步骤 1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

解题步骤 1.1.5.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

解题步骤 1.1.5.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

解题步骤 1.1.5.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

运用分配律。

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 1.1.6.2

合并项。

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解题步骤 1.1.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 1.1.6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

解题步骤 1.1.6.3

重新排序项。

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 。

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

对 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 2 e^{- x} \sin (x)$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 2 e^{- x} \cos (x)$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ 中分解出因数 $2 e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.5

将 $- \sin (x) - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- \sin (x) - \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.2

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.5.1

约去公因数。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.5.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.6

分离分数。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.5.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.5.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2.10

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \tan (x) = 1$

解题步骤 2.5.2.11

将 $- \tan (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.11.1

将 $- \tan (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.11.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 2.5.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 2.5.2.13

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.13.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5.2.14

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 2.5.2.15

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.5.2.15.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 2.5.2.15.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.5.2.16

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.2.16.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.16.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.16.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.5.2.16.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.5.2.17

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.5.2.17.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 2.5.2.17.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5.2.17.3

合并分数。

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解题步骤 2.5.2.17.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5.2.17.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.5.2.17.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.17.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 2.5.2.17.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.5.2.17.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.5.2.18

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

最终解为使 $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$\frac{3 π}{4} + π n$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

运用分配律。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ 。

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

解题步骤 5.3

在 $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ 处，导数为 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

运用分配律。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

解题步骤 6.2.1.3

运用分配律。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ 。

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ 处，导数为 $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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