微积分学示例

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

解题步骤 2

将方程重写为 $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ 。

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

解题步骤 3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

解题步骤 4

化简左边。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

解题步骤 5

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

解题步骤 6

化简左边。

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解题步骤 6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$t = 2 \arcsin (x)$

解题步骤 7

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

解题步骤 8

去掉圆括号。

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

解题步骤 9

化简 $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ 。

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解题步骤 9.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $2 \arcsin (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$y = \cos (\arcsin (x))$

解题步骤 9.1.2

使用指数书写表达式。

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解题步骤 9.1.2.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 9.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

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