微积分学示例

$y = (A x^{2} + B x + C) e^{5 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $e^{5 x}$ 对于 $A$ 是常数，所以 $(A x^{2} + B x + C) e^{5 x}$ 对 $A$ 的导数是 $e^{5 x} \frac{d}{d A} [A x^{2} + B x + C]$ 。

$e^{5 x} \frac{d}{d A} [A x^{2} + B x + C]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $A x^{2} + B x + C$ 对 $A$ 的导数是 $\frac{d}{d A} [A x^{2}] + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C]$ 。

$e^{5 x} (\frac{d}{d A} [A x^{2}] + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

解题步骤 1.3

因为 $x^{2}$ 对于 $A$ 是常数，所以 $A x^{2}$ 对 $A$ 的导数是 $x^{2} \frac{d}{d A} [A]$ 。

$e^{5 x} (x^{2} \frac{d}{d A} [A] + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ 等于 $n A^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{5 x} (x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

解题步骤 1.5

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{5 x} (x^{2} + \frac{d}{d A} [B x] + \frac{d}{d A} [C])$

解题步骤 1.6

因为 $B x$ 对于 $A$ 是常数，所以 $B x$ 对 $A$ 的导数为 $0$ 。

$e^{5 x} (x^{2} + 0 + \frac{d}{d A} [C])$

解题步骤 1.7

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$e^{5 x} (x^{2} + \frac{d}{d A} [C])$

解题步骤 1.8

因为 $C$ 对于 $A$ 是常数，所以 $C$ 对 $A$ 的导数为 $0$ 。

$e^{5 x} (x^{2} + 0)$

解题步骤 1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.9.1

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$e^{5 x} x^{2}$

解题步骤 1.9.2

将 $e^{5 x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$f' (A) = x^{2} e^{5 x}$

解题步骤 2

因为 $x^{2} e^{5 x}$ 对于 $A$ 是常数，所以 $x^{2} e^{5 x}$ 对 $A$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (A) = 0$

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