微积分学示例

$y = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ 重写成 ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x t + t^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x t + t^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $1 - 2 x t + t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $1 - 2 x t + t^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 1.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x t]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 1.11

因为 $- 2 t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x t$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 t \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 1.13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 1.14

因为 $t^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $t^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t + 0)$

解题步骤 1.15

化简项。

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解题步骤 1.15.1

将 $- 2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

解题步骤 1.15.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

解题步骤 1.15.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t$ 。

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.4

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.16

约去公因数。

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解题步骤 1.16.1

从 $2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.16.2

约去公因数。

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.16.3

重写表达式。

$\frac{- t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.17

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $- t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{t}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- t \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- t \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$- t \frac{d}{d x} [{({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 ${({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- t \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - 2 x t + t^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x t + t^{2}$ 。

$- t (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- t (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $1 - 2 x t + t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$- t (- \frac{1}{2} {(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.7.2

组合 ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- t (- \frac{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.7.3

化简表达式。

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解题步骤 2.7.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - 2 x t + t^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- t (- \frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 t (\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.7.3.3

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$t (\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}])$

解题步骤 2.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $t$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x t + t^{2}]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $1 - 2 x t + t^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}]$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x t]$ 相加。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x t] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 2.11

因为 $- 2 t$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x t$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 t \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t \cdot 1 + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 2.13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t + \frac{d}{d x} [t^{2}])$

解题步骤 2.14

因为 $t^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $t^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t + 0)$

解题步骤 2.15

合并分数。

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解题步骤 2.15.1

将 $- 2 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 t)$

解题步骤 2.15.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}} t$

解题步骤 2.15.3

组合 $\frac{- 2 t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $t$ 。

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.16

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.17

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.20

从 $- 2 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.21

约去公因数。

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解题步骤 2.21.1

从 $2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.21.2

约去公因数。

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.21.3

重写表达式。

$\frac{- t^{2}}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.22

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{t^{2}}{{(1 - 2 x t + t^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

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