微积分学示例

$y = θ^{2} (4 θ + 8)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = 4 θ + 8$ 。

$θ^{2} \frac{d}{d θ} [4 θ + 8] + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 θ + 8$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [4 θ] + \frac{d}{d θ} [8]$ 。

$θ^{2} (\frac{d}{d θ} [4 θ] + \frac{d}{d θ} [8]) + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $4$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $4 θ$ 对 $θ$ 的导数是 $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$θ^{2} (4 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [8]) + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$θ^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [8]) + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$θ^{2} (4 + \frac{d}{d θ} [8]) + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.5

因为 $8$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $8$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$θ^{2} (4 + 0) + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$θ^{2} \cdot 4 + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.6.2

将 $4$ 移到 $θ^{2}$ 的左侧。

$4 \cdot θ^{2} + (4 θ + 8) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 θ^{2} + (4 θ + 8) (2 θ)$

解题步骤 1.2.8

将 $2$ 移到 $4 θ + 8$ 的左侧。

$4 θ^{2} + 2 \cdot (4 θ + 8) θ$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$4 θ^{2} + (2 (4 θ) + 2 \cdot 8) θ$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$4 θ^{2} + 2 (4 θ) θ + 2 \cdot 8 θ$

解题步骤 1.3.3

合并项。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 θ^{2} + 8 θ \cdot θ + 2 \cdot 8 θ$

解题步骤 1.3.3.2

对 $θ$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 θ^{2} + 8 (θ^{1} θ) + 2 \cdot 8 θ$

解题步骤 1.3.3.3

对 $θ$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 θ^{2} + 8 (θ^{1} θ^{1}) + 2 \cdot 8 θ$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 θ^{2} + 8 θ^{1 + 1} + 2 \cdot 8 θ$

解题步骤 1.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 θ^{2} + 8 θ^{2} + 2 \cdot 8 θ$

解题步骤 1.3.3.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$4 θ^{2} + 8 θ^{2} + 16 θ$

解题步骤 1.3.3.7

将 $4 θ^{2}$ 和 $8 θ^{2}$ 相加。

$f' (θ) = 12 θ^{2} + 16 θ$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 θ^{2} + 16 θ$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [12 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [16 θ]$ 。

$\frac{d}{d θ} [12 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [16 θ]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d θ} [12 θ^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $12 θ^{2}$ 对 $θ$ 的导数是 $12 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [16 θ]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [16 θ]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 θ + \frac{d}{d θ} [16 θ]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d θ} [16 θ]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $16 θ$ 对 $θ$ 的导数是 $16 \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$24 θ + 16 \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 θ + 16 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (θ) = 24 θ + 16$

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