微积分学示例

$y = {(8 + \frac{2}{x})}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 8 + \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 + \frac{2}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $8 + \frac{2}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $8 + \frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ 。

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

解题步骤 1.2.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ 相加。

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$4 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

解题步骤 1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} x^{- 2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $- 8$ 。

$\frac{- 8}{x^{2}} {(8 + \frac{2}{x})}^{3}$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{- 8}{x^{2}}$ 和 ${(8 + \frac{2}{x})}^{3}$ 。

$\frac{- 8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 {(8 + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$- \frac{8 {(\frac{8 x}{x} + \frac{2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{8 {(\frac{8 x + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3

从 $8 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x) + 2 (1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3.3

从 $2 (4 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{8 {(\frac{2 (4 x + 1)}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.4

对 $\frac{2 (4 x + 1)}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{8 \frac{{(2 (4 x + 1))}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.5

对 $2 (4 x + 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{8 \frac{2^{3} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{8 \frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

组合 $8$ 和 $\frac{8 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}$ 。

$- \frac{\frac{8 (8 {(4 x + 1)}^{3})}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{\frac{8^{2} {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.6

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 1.3.8

合并。

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

解题步骤 1.3.9

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

解题步骤 1.3.9.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

解题步骤 1.3.10

将 $64 {(4 x + 1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{64 {(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$ 。

$- 64 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{3}}{x^{5}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(4 x + 1)}^{3}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- 64 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{3}] - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 4 x + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x + 1$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $4 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} (4 + 0)) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 64 \frac{x^{5} (3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 4) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - {(4 x + 1)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.8

合并分数。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 64 \frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.8.2

组合 $- 64$ 和 $\frac{x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ 。

$\frac{- 64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.8.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2}) - 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$- \frac{64 (x^{5} (12 {(4 x + 1)}^{2})) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{64 (12 x^{5} {(4 x + 1)}^{2}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.2

将 ${(4 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(4 x + 1) (4 x + 1)$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} ((4 x + 1) (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(4 x + 1) (4 x + 1)$ 。

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解题步骤 2.6.2.3.1

运用分配律。

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.3.2

运用分配律。

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1))) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.3.3

运用分配律。

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.1.5

将 $4 x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2} + 8 x + 1)) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.5

运用分配律。

$- \frac{64 (12 x^{5} (16 x^{2}) + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.6

化简。

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解题步骤 2.6.2.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 x^{5} (8 x) + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5} \cdot 1) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.6.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{5} x^{2} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.7.1

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.7.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$- \frac{64 (12 \cdot 16 (x^{2} x^{5}) + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{2 + 5} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.1.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$- \frac{64 (12 \cdot 16 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.2

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{5} x + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.2.7.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x \cdot x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.6.2.7.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 (x^{1} x^{5}) + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{1 + 5} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.3.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$- \frac{64 (192 x^{7} + 12 \cdot 8 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.4

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{64 (192 x^{7} + 96 x^{6} + 12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.8

运用分配律。

$- \frac{64 (192 x^{7}) + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.9

化简。

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解题步骤 2.6.2.9.1

将 $192$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 64 (96 x^{6}) + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.9.2

将 $96$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 64 (12 x^{5}) + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.9.3

将 $12$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 {(4 x + 1)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.10

使用二项式定理。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.11.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.3

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.5

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} \cdot 1 + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.6

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 3 (4 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.8

一的任意次幂都为一。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.9

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1^{3}) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.11.10

一的任意次幂都为一。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 5 (64 x^{3} + 48 x^{2} + 12 x + 1) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.12

运用分配律。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 5 (64 x^{3}) - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.13

化简。

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解题步骤 2.6.2.13.1

将 $64$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 5 (48 x^{2}) - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.13.2

将 $48$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 5 (12 x) - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.13.3

将 $12$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5 \cdot 1) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.13.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 ((- 320 x^{3} - 240 x^{2} - 60 x - 5) x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.14

运用分配律。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{3} x^{4} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15

化简。

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解题步骤 2.6.2.15.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.2.15.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 (x^{4} x^{3}) - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{4 + 3} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.1.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{2} x^{4} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.2.15.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 (x^{4} x^{2}) - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{4 + 2} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x \cdot x^{4} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.2.15.3.1

移动 $x^{4}$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.3.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.2.15.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 (x^{4} x^{1}) - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{4 + 1} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.15.3.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7} - 240 x^{6} - 60 x^{5} - 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.16

运用分配律。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} + 64 (- 320 x^{7}) + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.17

化简。

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解题步骤 2.6.2.17.1

将 $- 320$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} + 64 (- 240 x^{6}) + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.17.2

将 $- 240$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} + 64 (- 60 x^{5}) + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.17.3

将 $- 60$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} + 64 (- 5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.17.4

将 $- 5$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{12288 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 20480 x^{7} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.18

从 $12288 x^{7}$ 中减去 $20480 x^{7}$ 。

$- \frac{- 8192 x^{7} + 6144 x^{6} + 768 x^{5} - 15360 x^{6} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.19

从 $6144 x^{6}$ 中减去 $15360 x^{6}$ 。

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} + 768 x^{5} - 3840 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.20

从 $768 x^{5}$ 中减去 $3840 x^{5}$ 。

$- \frac{- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21

以因式分解的形式重写 $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.2.21.1

从 $- 8192 x^{7} - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.2.21.1.1

从 $- 8192 x^{7}$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) - 9216 x^{6} - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.1.2

从 $- 9216 x^{6}$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) - 3072 x^{5} - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.1.3

从 $- 3072 x^{5}$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) - 320 x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.1.4

从 $- 320 x^{4}$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.1.5

从 $64 x^{4} (- 128 x^{3}) + 64 x^{4} (- 144 x^{2})$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.1.6

从 $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2}) + 64 x^{4} (- 48 x)$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.1.7

从 $64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x) + 64 x^{4} (- 5)$ 中分解出因数 $64 x^{4}$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.2

使用有理根检验法因式分解 $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ 。

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解题步骤 2.6.2.21.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

解题步骤 2.6.2.21.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.0078125, \pm 0.5, \pm 0.015625, \pm 0.25, \pm 0.03125, \pm 0.125, \pm 0.0625, \pm 5, \pm 0.0390625, \pm 2.5, \pm 0.078125, \pm 1.25, \pm 0.15625, \pm 0.625, \pm 0.3125$

解题步骤 2.6.2.21.2.3

代入 $- 0.25$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.25$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.6.2.21.2.3.1

将 $- 0.25$ 代入多项式。

$- 128 {(- 0.25)}^{3} - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.2

对 $- 0.25$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 128 \cdot - 0.015625 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.3

将 $- 128$ 乘以 $- 0.015625$ 。

$2 - 144 {(- 0.25)}^{2} - 48 \cdot - 0.25 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.4

对 $- 0.25$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 - 144 \cdot 0.0625 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.5

将 $- 144$ 乘以 $0.0625$ 。

$2 - 9 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.6

从 $2$ 中减去 $9$ 。

$- 7 - 48 \cdot - 0.25 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.7

将 $- 48$ 乘以 $- 0.25$ 。

$- 7 + 12 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.8

将 $- 7$ 和 $12$ 相加。

$5 - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.3.9

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$0$

解题步骤 2.6.2.21.2.4

因为 $- 0.25$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $4 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5}{4 x + 1}$

解题步骤 2.6.2.21.2.5

用 $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ 除以 $4 x + 1$ 。

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解题步骤 2.6.2.21.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 x$

$1$

$128 x^{3}$

$144 x^{2}$

$48 x$

$5$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 128 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

				-	$32 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			-	$128 x^{3}$	-	$32 x^{2}$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 128 x^{3} - 32 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$32 x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 112 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$112 x^{2}$	-	$28 x$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 112 x^{2} - 28 x$ 中的所有符号

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 20 x$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							-	$20 x$	-	$5$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 20 x - 5$ 中的所有符号

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$32 x^{2}$	-	$28 x$	-	$5$
$4 x$	+	$1$	-	$128 x^{3}$	-	$144 x^{2}$	-	$48 x$	-	$5$
			+	$128 x^{3}$	+	$32 x^{2}$
					-	$112 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$112 x^{2}$	+	$28 x$
							-	$20 x$	-	$5$
							+	$20 x$	+	$5$
										$0$

解题步骤 2.6.2.21.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 32 x^{2} - 28 x - 5$

解题步骤 2.6.2.21.2.6

将 $- 128 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 5$ 书写为因数的集合。

$- \frac{64 x^{4} ((4 x + 1) (- 32 x^{2} - 28 x - 5))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.3

分组因式分解。

$- \frac{64 x^{4} (4 x + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4

合并指数。

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解题步骤 2.6.2.21.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) + 1) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x) - 1 (- 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.3

从 $- (- 4 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.4

将 $- (- 4 x - 1)$ 重写为 $- 1 (- 4 x - 1)$ 。

$- \frac{64 x^{4} (- 1 (- 4 x - 1)) (- 4 x - 1) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.5

对 $- 4 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} (- 4 x - 1)) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.6

对 $- 4 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 ({(- 4 x - 1)}^{1} {(- 4 x - 1)}^{1}) (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{1 + 1} (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{64 x^{4} \cdot - 1 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.21.4.9

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.3

合并项。

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解题步骤 2.6.3.1

约去 $x^{4}$ 和 $x^{10}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.1.1

从 $- 64 x^{4} {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.3.1.2.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{x^{4} (- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{- 64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.4

将 $\frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{64 {(- 4 x - 1)}^{2} (8 x + 5)}{x^{6}}$

微积分学 示例

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