微积分学示例

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = \sec (θ)$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

$\sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 1.2

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\sec (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $\sec (θ)$ 乘以 $\sec^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\sec (θ)$ 乘以 $\sec^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (θ)}^{1 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 1.4

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ 。

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 1.5

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ)$

解题步骤 1.6

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ)$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{3} (θ) + {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ)$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{3} (θ) + \tan^{2} (θ) \sec (θ)$

解题步骤 1.9

重新排序项。

$f' (θ) = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ 。

$\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = \tan^{2} (θ)$ 且 $g (θ) = \sec (θ)$ 。

$\tan^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.2

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ 。

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (θ)$ 。

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.4

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.5

通过指数相加将 $\tan^{2} (θ)$ 乘以 $\tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

移动 $\tan (θ)$ 。

$\tan (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.5.2

将 $\tan (θ)$ 乘以 $\tan^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{1} (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\tan (θ)}^{1 + 2} \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.6

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) {\sec (θ)}^{1 + 2} + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.2.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{3}$ 且 $g (θ) = \sec (θ)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (θ)$ 。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $\sec (θ)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

解题步骤 2.3.2

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ 。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 2.3.3

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) \tan (θ)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {\sec (θ)}^{1 + 2} \tan (θ)$

解题步骤 2.3.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

解题步骤 2.4

合并项。

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解题步骤 2.4.1

重新排序 $2 \tan (θ) \sec^{3} (θ)$ 的因式。

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

解题步骤 2.4.2

将 $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ 和 $3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ 相加。

$f'' (θ) = \tan^{3} (θ) \sec (θ) + 5 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

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