微积分学示例

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2

从 $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ 中分解出因数 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{- 2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.2

从 $- 7 x^{- 2}$ 中分解出因数 $x^{- 2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

解题步骤 1.2.3

从 $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ 中分解出因数 $x^{- 2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

解题步骤 1.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

解题步骤 1.5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{7} - 7$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.6

求微分。

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解题步骤 1.6.1

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.6.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.2

根据加法法则， $3 x^{7} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.5

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.7

将 $21 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.7

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 1.7.1

移动 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.7.3

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.8

将 $21$ 移到 $x^{10}$ 的左侧。

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 1.10

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.10.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 1.10.2

从 $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.10.2.1

从 $21 x^{10}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 1.10.2.2

从 $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

解题步骤 1.10.2.3

从 $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

解题步骤 1.11

约去公因数。

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解题步骤 1.11.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 1.11.2

约去公因数。

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 1.11.3

重写表达式。

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

运用分配律。

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

解题步骤 1.12.2

化简分子。

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解题步骤 1.12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.12.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

解题步骤 1.12.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

解题步骤 1.12.2.2

从 $21 x^{7}$ 中减去 $12 x^{7}$ 。

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 9 x^{7} + 28$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $9 x^{7} + 28$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ 。

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{7}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2.5

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.2.7

将 $63 x^{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 2.3.1

移动 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.3.3

将 $6$ 和 $5$ 相加。

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4

将 $63$ 移到 $x^{11}$ 的左侧。

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2

从 $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $63 x^{11}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.2

从 $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.3

从 $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

解题步骤 2.7

约去公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 2.7.3

重写表达式。

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

解题步骤 2.8.2

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.1

将 $9$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $28$ 。

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

解题步骤 2.8.2.2

从 $63 x^{7}$ 中减去 $45 x^{7}$ 。

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

解题步骤 2.8.3

从 $18 x^{7} - 140$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.8.3.1

从 $18 x^{7}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

解题步骤 2.8.3.2

从 $- 140$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

解题步骤 2.8.3.3

从 $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$

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