微积分学示例

$w = 3 z^{- z} - \frac{1}{z}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 z^{- z} - \frac{1}{z}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [3 z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ 。

$\frac{d}{d z} [3 z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d z} [3 z^{- z}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $3 z^{- z}$ 对 $z$ 的导数是 $3 \frac{d}{d z} [z^{- z}]$ 。

$3 \frac{d}{d z} [z^{- z}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.2

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $z^{- z}$ 重写为 $e^{\ln (z^{- z})}$ 。

$3 \frac{d}{d z} [e^{\ln (z^{- z})}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.2.2

通过将 $- z$ 移到对数外来展开 $\ln (z^{- z})$ 。

$3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = e^{z}$ 且 $g (z) = - z \ln (z)$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- z \ln (z)$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (e^{u} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $- z \ln (z)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- z \ln (z)$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z$ 且 $g (z) = \ln (z)$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z]))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.6

$\ln (z)$ 对 $z$ 的导数为 $\frac{1}{z}$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z]))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.8

组合 $z$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.9

约去 $z$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1

约去公因数。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.9.2

重写表达式。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.10

将 $\ln (z)$ 乘以 $1$ 。

$3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = - 1$ 且 $g (z) = \frac{1}{z}$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{z}$ 重写为 $z^{- 1}$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

解题步骤 1.3.6

将 $z^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

解题步骤 1.3.7

将 $\frac{1}{z}$ 乘以 $0$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2} + 0$

解题步骤 1.3.8

将 $z^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$- 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z)) + z^{- 2}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$- 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2}$

解题步骤 1.4.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 e^{- z \ln (z)} - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2}$

解题步骤 1.4.3

重新排序项。

$f' (z) = - 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2} - 3 e^{- z \ln (z)}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + z^{- 2} - 3 e^{- z \ln (z)}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$ 。

$\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$ 对 $z$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)} \ln (z)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)} \ln (z)] + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = e^{- z \ln (z)}$ 且 $g (z) = \ln (z)$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.3

$\ln (z)$ 对 $z$ 的导数为 $\frac{1}{z}$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = e^{z}$ 且 $g (z) = - z \ln (z)$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- z \ln (z)$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $- z \ln (z)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- z \ln (z)$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z$ 且 $g (z) = \ln (z)$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.7

$\ln (z)$ 对 $z$ 的导数为 $\frac{1}{z}$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{1}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.9

组合 $e^{- z \ln (z)}$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.10

组合 $z$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.11

约去 $z$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.11.1

约去公因数。

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.11.2

重写表达式。

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1)))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.12

将 $\ln (z)$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.13

要将 $\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{z}{z}$ 。

$- 3 (\frac{e^{- z \ln (z)}}{z} + \frac{\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z}) + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.14

在公分母上合并分子。

$- 3 \frac{e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.15

组合 $- 3$ 和 $\frac{e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z}{z}$ 。

$\frac{- 3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.2.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} + \frac{d}{d z} [z^{- 2}] + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + \frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d z} [- 3 e^{- z \ln (z)}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 3 e^{- z \ln (z)}$ 对 $z$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 \frac{d}{d z} [e^{- z \ln (z)}]$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = e^{z}$ 且 $g (z) = - z \ln (z)$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- z \ln (z)$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

解题步骤 2.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $- z \ln (z)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} \frac{d}{d z} [- z \ln (z)])$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- z \ln (z)$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- \frac{d}{d z} [z \ln (z)]))$

解题步骤 2.4.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z$ 且 $g (z) = \ln (z)$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))$

解题步骤 2.4.5

$\ln (z)$ 对 $z$ 的导数为 $\frac{1}{z}$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \frac{d}{d z} [z])))$

解题步骤 2.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (z \frac{1}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

解题步骤 2.4.7

组合 $z$ 和 $\frac{1}{z}$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

解题步骤 2.4.8

约去 $z$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.8.1

约去公因数。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\frac{z}{z} + \ln (z) \cdot 1)))$

解题步骤 2.4.8.2

重写表达式。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z) \cdot 1)))$

解题步骤 2.4.9

将 $\ln (z)$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} - 3 (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z))))$

解题步骤 2.4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- (1 + \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1 - \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1) + e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

解题步骤 2.5.3

运用分配律。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z)))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

解题步骤 2.5.4

运用分配律。

$- \frac{3 (e^{- z \ln (z)} + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z + \ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

解题步骤 2.5.5

运用分配律。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} (1 + \ln (z))$

解题步骤 2.5.6

运用分配律。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- 1 \cdot 1)) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7

合并项。

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解题步骤 2.5.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} \cdot - 1) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- z \ln (z)}$ 的左侧。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (- 1 \cdot e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.3

将 $- 1 e^{- z \ln (z)}$ 重写为 $- e^{- z \ln (z)}$ 。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} + 3 (\ln (z) (- e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)}) z) + 3 (\ln (z) (e^{- z \ln (z)} (- \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.5

对 $\ln (z)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\ln^{1} (z) \ln (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.6

对 $\ln (z)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- (\ln^{1} (z) \ln^{1} (z))) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- {\ln (z)}^{1 + 1}) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z + 3 (e^{- z \ln (z)} (- \ln^{2} (z)) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 (e^{- z \ln (z)} (\ln^{2} (z)) z)}{z} - 2 z^{- 3} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.10

要将 $- 2 z^{- 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{z}{z}$ 。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z}{z} - 2 z^{- 3} \cdot \frac{z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.11

组合 $- 2 z^{- 3}$ 和 $\frac{z}{z}$ 。

$- \frac{3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z}{z} + \frac{- 2 z^{- 3} z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 3} z}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.13

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 (z^{1} z^{- 3})}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{1 - 3}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.15

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} \cdot 1 + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.7.16

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)} + 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z)$

解题步骤 2.5.8

重新排序项。

$f'' (z) = 3 e^{- z \ln (z)} \ln (z) + \frac{- (3 e^{- z \ln (z)} - 3 \ln (z) e^{- z \ln (z)} z - 3 e^{- z \ln (z)} \ln^{2} (z) z) - 2 z^{- 2}}{z} + 3 e^{- z \ln (z)}$

微积分学 示例

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