微积分学示例

$y = 5 \cos (x) + 4 {(x + 6)}^{- 2} - 3 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 \cos (x) + 4 {(x + 6)}^{- 2} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$5 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \sin (x) + \frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 {(x + 6)}^{- 2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x + 6)}^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{- 2}]$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 6$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 5 \sin (x) + 4 (- 2 {(x + 6)}^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.3.8

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 5 \sin (x) - 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

重新排序项。

$- 8 {(x + 6)}^{- 3} - 3 - 5 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$

解题步骤 1.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{8}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}} - 3 - 5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8}{{(x + 6)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}]$ 。

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{{(x + 6)}^{3}}$ 重写为 ${({(x + 6)}^{3})}^{- 1}$ 。

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 6)}^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x + 6)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x + 6)}^{3}$ 。

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 ${(x + 6)}^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 6$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $x + 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.7

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 (- {({(x + 6)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.8

将 ${({(x + 6)}^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 8 (- {(x + 6)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.8.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 (- {(x + 6)}^{- 6} (3 {(x + 6)}^{2} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 8 (- {(x + 6)}^{- 6} (3 {(x + 6)}^{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 8 (- {(x + 6)}^{- 6} (3 {(x + 6)}^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.11

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 (- 3 {(x + 6)}^{- 6} {(x + 6)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.12

通过指数相加将 ${(x + 6)}^{- 6}$ 乘以 ${(x + 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.12.1

移动 ${(x + 6)}^{2}$ 。

$- 8 (- 3 ({(x + 6)}^{2} {(x + 6)}^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 8 (- 3 {(x + 6)}^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.12.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 8 (- 3 {(x + 6)}^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.13

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$24 {(x + 6)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 {(x + 6)}^{- 4} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$24 {(x + 6)}^{- 4} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$24 {(x + 6)}^{- 4} + 0 - 5 \cos (x)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$24 \frac{1}{{(x + 6)}^{4}} + 0 - 5 \cos (x)$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $24$ 和 $\frac{1}{{(x + 6)}^{4}}$ 。

$\frac{24}{{(x + 6)}^{4}} + 0 - 5 \cos (x)$

解题步骤 2.5.2.2

将 $\frac{24}{{(x + 6)}^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{24}{{(x + 6)}^{4}} - 5 \cos (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{24}{{(x + 6)}^{4}} - 5 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{24}{{(x + 6)}^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{24}{{(x + 6)}^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{24}{{(x + 6)}^{4}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{24}{{(x + 6)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{4}}]$ 。

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{{(x + 6)}^{4}}$ 重写为 ${({(x + 6)}^{4})}^{- 1}$ 。

$24 \frac{d}{d x} [{({(x + 6)}^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x + 6)}^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x + 6)}^{4}$ 。

$24 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$24 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 ${(x + 6)}^{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 6$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.3

使用 $x + 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} (4 {(x + 6)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.5

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} (4 {(x + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} (4 {(x + 6)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.7

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 (- {({(x + 6)}^{4})}^{- 2} (4 {(x + 6)}^{3} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.8

将 ${({(x + 6)}^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$24 (- {(x + 6)}^{4 \cdot - 2} (4 {(x + 6)}^{3} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.8.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$24 (- {(x + 6)}^{- 8} (4 {(x + 6)}^{3} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$24 (- {(x + 6)}^{- 8} (4 {(x + 6)}^{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$24 (- {(x + 6)}^{- 8} (4 {(x + 6)}^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.11

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$24 (- 4 {(x + 6)}^{- 8} {(x + 6)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.12

通过指数相加将 ${(x + 6)}^{- 8}$ 乘以 ${(x + 6)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.12.1

移动 ${(x + 6)}^{3}$ 。

$24 (- 4 ({(x + 6)}^{3} {(x + 6)}^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 (- 4 {(x + 6)}^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.12.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$24 (- 4 {(x + 6)}^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.2.13

将 $- 4$ 乘以 $24$ 。

$- 96 {(x + 6)}^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- 96 {(x + 6)}^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 96 {(x + 6)}^{- 5} - 5 (- \sin (x))$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- 96 {(x + 6)}^{- 5} + 5 \sin (x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 96 \frac{1}{{(x + 6)}^{5}} + 5 \sin (x)$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $- 96$ 和 $\frac{1}{{(x + 6)}^{5}}$ 。

$\frac{- 96}{{(x + 6)}^{5}} + 5 \sin (x)$

解题步骤 3.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{96}{{(x + 6)}^{5}} + 5 \sin (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $- \frac{96}{{(x + 6)}^{5}} + 5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{96}{{(x + 6)}^{5}}] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{96}{{(x + 6)}^{5}}] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{96}{{(x + 6)}^{5}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 96$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{96}{{(x + 6)}^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{5}}]$ 。

$- 96 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 6)}^{5}}] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{{(x + 6)}^{5}}$ 重写为 ${({(x + 6)}^{5})}^{- 1}$ 。

$- 96 \frac{d}{d x} [{({(x + 6)}^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = {(x + 6)}^{5}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x + 6)}^{5}$ 。

$- 96 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{5}]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 96 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{5}]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 ${(x + 6)}^{5}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{5}]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 6$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.4.3

使用 $x + 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} (5 {(x + 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 6])) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.5

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} (5 {(x + 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} (5 {(x + 6)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [6]))) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.7

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 96 (- {({(x + 6)}^{5})}^{- 2} (5 {(x + 6)}^{4} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.8

将 ${({(x + 6)}^{5})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 96 (- {(x + 6)}^{5 \cdot - 2} (5 {(x + 6)}^{4} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.8.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$- 96 (- {(x + 6)}^{- 10} (5 {(x + 6)}^{4} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 96 (- {(x + 6)}^{- 10} (5 {(x + 6)}^{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 96 (- {(x + 6)}^{- 10} (5 {(x + 6)}^{4})) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.11

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 96 (- 5 {(x + 6)}^{- 10} {(x + 6)}^{4}) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.12

通过指数相加将 ${(x + 6)}^{- 10}$ 乘以 ${(x + 6)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.12.1

移动 ${(x + 6)}^{4}$ 。

$- 96 (- 5 ({(x + 6)}^{4} {(x + 6)}^{- 10})) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 96 (- 5 {(x + 6)}^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.12.3

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$- 96 (- 5 {(x + 6)}^{- 6}) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.2.13

将 $- 5$ 乘以 $- 96$ 。

$480 {(x + 6)}^{- 6} + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$480 {(x + 6)}^{- 6} + 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$480 {(x + 6)}^{- 6} + 5 \cos (x)$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$480 \frac{1}{{(x + 6)}^{6}} + 5 \cos (x)$

解题步骤 4.4.2

组合 $480$ 和 $\frac{1}{{(x + 6)}^{6}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{480}{{(x + 6)}^{6}} + 5 \cos (x)$

微积分学 示例

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