微积分学示例

$y = 9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$36 x^{3} + a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$36 x^{3} + a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 移到 $a$ 的左侧。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [b x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b (2 x) + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 移到 $b$ 的左侧。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [c x]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c x$ 对 $x$ 的导数是 $c \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.5.3

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{d}{d x} [d]$

解题步骤 1.6

因为 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以 $d$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + 0$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

将 $36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 和 $0$ 相加。

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$

解题步骤 1.7.2

重新排序项。

$f' (x) = 36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$108 x^{2} + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.3

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$108 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $3 a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} a$ 对 $x$ 的导数是 $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$108 x^{2} + 0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$108 x^{2} + 0 + 3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + \frac{d}{d x} [2 b x]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [2 b x]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $2 b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 b x$ 对 $x$ 的导数是 $2 b \frac{d}{d x} [x]$ 。

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \cdot 1$

解题步骤 2.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $108 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$108 x^{2} + 6 a x + 2 b$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$f'' (x) = 108 x^{2} + 2 b + 6 a x$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $108 x^{2} + 2 b + 6 a x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$ 。

$\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [108 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $108$ 对于 $x$ 是常数，所以 $108 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$108 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $108$ 。

$216 x + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

解题步骤 3.3

因为 $2 b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$216 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 a x]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [6 a x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $6 a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 a x$ 对 $x$ 的导数是 $6 a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$216 x + 0 + 6 a \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$216 x + 0 + 6 a \cdot 1$

解题步骤 3.4.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$216 x + 0 + 6 a$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $216 x$ 和 $0$ 相加。

$216 x + 6 a$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$f''' (x) = 6 a + 216 x$

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