微积分学示例

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.2

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 e^{\frac{t}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = \frac{t}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t}{2}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $\frac{t}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.4

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.7

组合 $e^{\frac{t}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.8

组合 $4$ 和 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 。

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.1

从 $4 e^{\frac{t}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.2.9.2.4

用 $2 e^{\frac{t}{2}}$ 除以 $1$ 。

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- t]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 e^{\frac{t}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = \frac{t}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{t}{2}$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $\frac{t}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.6

组合 $e^{\frac{t}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.7

组合 $2$ 和 $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.8

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.8.1

约去公因数。

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.8.2

用 $e^{\frac{t}{2}}$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{\frac{t}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

解题步骤 3

$P (t)$ 对 $t$ 的二阶导数是 $e^{\frac{t}{2}}$ 。

$e^{\frac{t}{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例