微积分学示例

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sqrt{8 t^{2}} - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{8 t^{2}}$ 重写成 ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.2

从 $8 t^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.3

对 $8 (t^{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.4

将 ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去公因数。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.4.2.2

重写表达式。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.5

化简。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.6

因为 $8^{\frac{1}{2}}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8^{\frac{1}{2}} t$ 对 $t$ 的导数是 $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.2.8

将 $8^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- t]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $8^{\frac{1}{2}} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2

因为 $8^{\frac{1}{2}}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (t) = 0$

解题步骤 3

$f (t)$ 对 $t$ 的二阶导数是 $0$ 。

$0$

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