微积分学示例

$g (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2} (3 t^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

将 $3$ 移到 ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2}$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 移到 ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ 的左侧。

$3 (2 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 9 t^{2} - 7$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 t^{2} - 7$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

解题步骤 1.4.3

使用 $9 t^{2} - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

根据加法法则， $9 t^{2} - 7$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

解题步骤 1.5.2

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

解题步骤 1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])))$

解题步骤 1.5.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + \frac{d}{d t} [- 7])))$

解题步骤 1.5.5

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + 0)))$

解题步骤 1.5.6

化简表达式。

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解题步骤 1.5.6.1

将 $18 t$ 和 $0$ 相加。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t)))$

解题步骤 1.5.6.2

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (36 (9 t^{2} - 7) t))$

解题步骤 1.6

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.6.1

移动 $t$ 。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t \cdot t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

解题步骤 1.6.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1} t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

解题步骤 1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1 + 2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

解题步骤 1.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2} - 7)))$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2}) + 36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2})) + t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.3

运用分配律。

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4

合并项。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.2

将 $9$ 乘以 $36$ 。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{3} (324 t^{2})) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.3

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.4.3.1

移动 $t^{2}$ 。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.3.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.4

将 $324$ 移到 $t^{5}$ 的左侧。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (324 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.5

将 $324$ 乘以 $3$ 。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

解题步骤 1.7.4.6

将 $36$ 乘以 $- 7$ 。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 252)$

解题步骤 1.7.4.7

将 $- 252$ 移到 $t^{3}$ 的左侧。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (- 252 \cdot t^{3})$

解题步骤 1.7.4.8

将 $- 252$ 乘以 $3$ 。

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} - 756 t^{3}$

解题步骤 1.7.5

重新排序项。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t {(9 t^{2} - 7)}^{2}$

解题步骤 1.7.6

化简每一项。

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解题步骤 1.7.6.1

将 ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ 重写为 $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t ((9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7))$

解题步骤 1.7.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ 。

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解题步骤 1.7.6.2.1

运用分配律。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2} - 7) - 7 (9 t^{2} - 7))$

解题步骤 1.7.6.2.2

运用分配律。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2} - 7))$

解题步骤 1.7.6.2.3

运用分配律。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.7.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2} t^{2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.6.3.1.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 (t^{2} t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2 + 2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.3

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.4

将 $- 7$ 乘以 $9$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.5

将 $9$ 乘以 $- 7$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} - 7 \cdot - 7)$

解题步骤 1.7.6.3.1.6

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} + 49)$

解题步骤 1.7.6.3.2

从 $- 63 t^{2}$ 中减去 $63 t^{2}$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 126 t^{2} + 49)$

解题步骤 1.7.6.4

运用分配律。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4}) + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

解题步骤 1.7.6.5

化简。

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解题步骤 1.7.6.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

解题步骤 1.7.6.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 49$

解题步骤 1.7.6.5.3

将 $49$ 乘以 $6$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6

化简每一项。

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解题步骤 1.7.6.6.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 1.7.6.6.1.1

移动 $t^{4}$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.1.2

将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.7.6.6.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.2

将 $6$ 乘以 $81$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 1.7.6.6.3.1

移动 $t^{2}$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t) + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.3.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.7.6.6.3.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t^{1}) + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{2 + 1} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{3} + 294 t$

解题步骤 1.7.6.6.4

将 $6$ 乘以 $- 126$ 。

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} - 756 t^{3} + 294 t$

解题步骤 1.7.7

将 $972 t^{5}$ 和 $486 t^{5}$ 相加。

$1458 t^{5} - 756 t^{3} - 756 t^{3} + 294 t$

解题步骤 1.7.8

从 $- 756 t^{3}$ 中减去 $756 t^{3}$ 。

$f' (t) = 1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $1458$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1458 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $1458 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ 。

$1458 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$1458 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.2.3

将 $5$ 乘以 $1458$ 。

$7290 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1512$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1512 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$7290 t^{4} - 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$7290 t^{4} - 1512 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1512$ 。

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + \frac{d}{d t} [294 t]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d t} [294 t]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $294$ 对于 $t$ 是常数，所以 $294 t$ 对 $t$ 的导数是 $294 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $294$ 乘以 $1$ 。

$f'' (t) = 7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$

解题步骤 3

$g (t)$ 对 $t$ 的二阶导数是 $7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$ 。

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$

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