微积分学示例

$f (x) = 3 x {(x + 4)}^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x ((x + 4) (x + 4))]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [3 x (x (x + 4) + 4 (x + 4))]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [3 x (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)]$

解题步骤 1.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [3 x (x^{2} + 8 x + 16)]$

解题步骤 1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x (x^{2} + 8 x + 16)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 8 x + 16)]$

解题步骤 1.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 8 x + 16$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 16] + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6

求微分。

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解题步骤 1.6.1

根据加法法则， $x^{2} + 8 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (x (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x (2 x + 8 + 0) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.7

将 $2 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.6.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x (2 x + 8) + (x^{2} + 8 x + 16) \cdot 1)$

解题步骤 1.6.9

将 $x^{2} + 8 x + 16$ 乘以 $1$ 。

$3 (x (2 x + 8) + x^{2} + 8 x + 16)$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$3 (x (2 x) + x \cdot 8 + x^{2} + 8 x + 16)$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3

合并项。

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解题步骤 1.7.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (2 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} + 3 (x \cdot 8) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.6

将 $8$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 x^{2} + 3 (8 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.7

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} + 24 x + 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.8

将 $6 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$9 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.9

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.10

将 $24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$9 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 16$

解题步骤 1.7.3.11

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 9 x^{2} + 48 x + 48$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $9 x^{2} + 48 x + 48$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [48 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$18 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.3.3

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$18 x + 48 + \frac{d}{d x} [48]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 x + 48 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $18 x + 48$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 18 x + 48$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $18 x + 48$ 。

$18 x + 48$

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