微积分学示例

$f (x) = \log_{5} (\tan (2 x))$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{5} (x)$ 且 $g (x) = \tan (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

$\log_{5} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\tan (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $\sec^{2} (2 x)$ 和 $\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)}$ 。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{2}{\ln (5)}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ 且 $g (x) = \tan (2 x)$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (2 x)$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.3.3

使用 $\sec (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $\tan (2 x)$ 的左侧。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.5.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.6

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.7

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.10

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.11

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.13

求微分。

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解题步骤 2.13.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.13.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.13.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.13.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.13.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.14

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.14.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.14.2

$\tan (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{3})$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.14.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.16

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.17

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.18

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \cdot 1}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.20

合并分数。

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解题步骤 2.20.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.20.2

将 $\frac{2}{\ln (5)}$ 乘以 $\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$ 。

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.21

化简。

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解题步骤 2.21.1

运用分配律。

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.21.2

化简每一项。

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解题步骤 2.21.2.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.21.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

解题步骤 2.21.3

重新排序项。

$\frac{8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

解题步骤 2.21.4

从 $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)$ 中分解出因数 $4 \sec^{2} (2 x)$ 。

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解题步骤 2.21.4.1

从 $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $4 \sec^{2} (2 x)$ 。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

解题步骤 2.21.4.2

从 $- 4 \sec^{4} (2 x)$ 中分解出因数 $4 \sec^{2} (2 x)$ 。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

解题步骤 2.21.4.3

从 $4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ 中分解出因数 $4 \sec^{2} (2 x)$ 。

$f'' (x) = \frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$ 。

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

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