微积分学示例

$f (x) = x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{1}{x^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.4.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.4.5.2.2

约去公因数。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.4.5.2.3

重写表达式。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 2.4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.4.8

在公分母上合并分子。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.4.9

化简分子。

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解题步骤 2.4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 2.4.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 2.4.10

将负号移到分数的前面。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.4.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.12

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

解题步骤 2.4.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 2.4.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 2.4.13.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.13.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.13.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.13.5

化简分子。

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解题步骤 2.4.13.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.13.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.13.6

将负号移到分数的前面。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.4.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.4.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$2 x^{- 3} + 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.4.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{- 3} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{x^{3}} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.5.2

合并项。

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解题步骤 2.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{2}{x^{3}} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $\frac{2}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

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