微积分学示例

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ 且 $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $18 x - \frac{97}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.2

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.4

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 97$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{97}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.6

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 97$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

解题步骤 1.2.9

根据加法法则， $9 x^{2} - 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

解题步骤 1.2.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

解题步骤 1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

解题步骤 1.2.12

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

解题步骤 1.2.13

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.15

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

解题步骤 1.3.2

组合 $97$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

解题步骤 1.3.3

重新排序项。

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.1

运用分配律。

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.1.2

运用分配律。

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.1.3

运用分配律。

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.2.1

将 $9$ 乘以 $18$ 。

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.2

将 $- 7$ 乘以 $18$ 。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.4

乘以 $9 \frac{97}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.4.1

组合 $9$ 和 $\frac{97}{x^{2}}$ 。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.4.2

将 $9$ 乘以 $97$ 。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.5

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.2.5.1

约去公因数。

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.5.2

重写表达式。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.7

乘以 $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.7.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{97}{x^{2}}$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.7.2

将 $- 7$ 乘以 $97$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.2.8.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.8.2

约去公因数。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.8.3

重写表达式。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.2.9

将负号移到分数的前面。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.3

使用 FOIL 方法展开 $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ 。

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解题步骤 1.3.4.3.1

运用分配律。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.3.2

运用分配律。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.3.3

运用分配律。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.4.4.2.1

移动 $x$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.3

将 $18$ 乘以 $18$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.4.4.1

将 $- \frac{97}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.4.2

从 $18 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.4.3

约去公因数。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.4.4

重写表达式。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.5

将 $18$ 乘以 $- 97$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.6

将 $18$ 乘以 $- 7$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

解题步骤 1.3.4.4.7

乘以 $- 7 (- \frac{97}{x})$ 。

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解题步骤 1.3.4.4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

解题步骤 1.3.4.4.7.2

组合 $7$ 和 $\frac{97}{x}$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

解题步骤 1.3.4.4.7.3

将 $7$ 乘以 $97$ 。

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

解题步骤 1.3.5

合并 $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $- \frac{679}{x}$ 和 $\frac{679}{x}$ 相加。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

解题步骤 1.3.5.2

将 $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ 和 $0$ 相加。

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

解题步骤 1.3.6

将 $162 x^{2}$ 和 $324 x^{2}$ 相加。

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

解题步骤 1.3.7

从 $- 126 x$ 中减去 $126 x$ 。

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

解题步骤 1.3.8

从 $873$ 中减去 $1746$ 。

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $486 x^{2} - 252 x - 873$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ 。

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $486$ 对于 $x$ 是常数，所以 $486 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $486$ 。

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 252$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 252 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 252$ 乘以 $1$ 。

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 873$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 873$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$972 x - 252 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $972 x - 252$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 972 x - 252$

解题步骤 3

$y (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $972 x - 252$ 。

$972 x - 252$

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