微积分学示例

$f (y) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ 且 $g (y) = y + 3 y^{3}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) \frac{d}{d y} [y + 3 y^{3}] + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y + 3 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + \frac{d}{d y} [3 y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

解题步骤 1.2.3

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 3 (3 y^{2})) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

解题步骤 1.2.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}]$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}]$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

解题步骤 1.2.7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

解题步骤 1.2.7.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

解题步骤 1.2.7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{d}{d y} [y^{- 2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{4}}])$

解题步骤 1.2.9

因为 $- 5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- \frac{5}{y^{4}}$ 对 $y$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}])$

解题步骤 1.2.10

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $\frac{1}{y^{4}}$ 重写为 ${(y^{4})}^{- 1}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}])$

解题步骤 1.2.10.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.10.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{4 \cdot - 1}])$

解题步骤 1.2.10.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 \frac{d}{d y} [y^{- 4}])$

解题步骤 1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} - 5 (- 4 y^{- 5}))$

解题步骤 1.2.12

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 y^{- 3} + 20 y^{- 5})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 y^{- 5})$

解题步骤 1.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- 2 \frac{1}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

解题步骤 1.3.3

合并项。

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解题步骤 1.3.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (\frac{- 2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

解题步骤 1.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + 20 \frac{1}{y^{5}})$

解题步骤 1.3.3.3

组合 $20$ 和 $\frac{1}{y^{5}}$ 。

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) (1 + 9 y^{2}) + (y + 3 y^{3}) (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}})$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 9 y^{2}) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}})$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.1

运用分配律。

$1 (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.1.2

运用分配律。

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.1.3

运用分配律。

$1 \frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2}} + 1 (- \frac{5}{y^{4}}) + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

将 $- \frac{5}{y^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 y^{2} \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.3

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.2.1.3.1

从 $9 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + y^{2} \cdot 9 \frac{1}{y^{2}} + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} (- \frac{5}{y^{4}}) + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.4

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.2.1.4.1

将 $- \frac{5}{y^{4}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 y^{2} \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.4.2

从 $9 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{4}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.4.3

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.4.4

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + y^{2} \cdot 9 \frac{- 5}{y^{2} y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.4.5

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + 9 \frac{- 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.5

组合 $9$ 和 $\frac{- 5}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{9 \cdot - 5}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.6

将 $9$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{45}{y^{2}} + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 45}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.2.3

从 $1$ 中减去 $45$ 。

$\frac{- 44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + (- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.4

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{2}{y^{3}} + \frac{20}{y^{5}}) (y + 3 y^{3})$ 。

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解题步骤 1.3.5.4.1

运用分配律。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} (y + 3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.4.2

运用分配律。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} (y + 3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.4.3

运用分配律。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.5.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.5.1.1.1

将 $- \frac{2}{y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{3}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.1.2

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.1.3

约去公因数。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y \cdot y^{2}} y - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - \frac{2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.3

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.5.1.3.1

将 $- \frac{2}{y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (3 y^{3}) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.3.2

从 $3 y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.3.3

约去公因数。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} + \frac{- 2}{y^{3}} (y^{3} \cdot 3) + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.3.4

重写表达式。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 2 \cdot 3 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{5}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.5.1.5.1

从 $y^{5}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.5.2

约去公因数。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y \cdot y^{4}} y + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.5.3

重写表达式。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{20}{y^{5}} (3 y^{3})$

解题步骤 1.3.5.5.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + 3 \frac{20}{y^{5}} y^{3}$

解题步骤 1.3.5.5.1.7

乘以 $3 \frac{20}{y^{5}}$ 。

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解题步骤 1.3.5.5.1.7.1

组合 $3$ 和 $\frac{20}{y^{5}}$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{3 \cdot 20}{y^{5}} y^{3}$

解题步骤 1.3.5.5.1.7.2

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{5}} y^{3}$

解题步骤 1.3.5.5.1.8

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.5.1.8.1

从 $y^{5}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

解题步骤 1.3.5.5.1.8.2

约去公因数。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{3} y^{2}} y^{3}$

解题步骤 1.3.5.5.1.8.3

重写表达式。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 - \frac{2}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}} + \frac{60}{y^{2}}$

解题步骤 1.3.5.5.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{- 2 + 60}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

解题步骤 1.3.5.5.3

将 $- 2$ 和 $60$ 相加。

$- \frac{44}{y^{2}} - \frac{5}{y^{4}} + 9 + \frac{58}{y^{2}} - 6 + \frac{20}{y^{4}}$

解题步骤 1.3.6

在公分母上合并分子。

$9 - 6 + \frac{- 44 + 58}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

解题步骤 1.3.7

将 $- 44$ 和 $58$ 相加。

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{- 5 + 20}{y^{4}}$

解题步骤 1.3.8

将 $- 5$ 和 $20$ 相加。

$9 - 6 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

解题步骤 1.3.9

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$f' (y) = 3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $3 + \frac{14}{y^{2}} + \frac{15}{y^{4}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{14}{y^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $14$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{14}{y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 。

$0 + 14 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$0 + 14 \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y^{2}$ 。

$0 + 14 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 14 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.5

将 ${(y^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 + 14 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 14 (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 14 (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 + 14 (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + 14 (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$0 + 14 (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.2.10

将 $- 2$ 乘以 $14$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{15}{y^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $15$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{15}{y^{4}}$ 对 $y$ 的导数是 $15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{y^{4}}$ 重写为 ${(y^{4})}^{- 1}$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y^{4}$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}])$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $y^{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3}))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(y^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3}))$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- y^{- 8} (4 y^{3}))$

解题步骤 2.3.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 8} y^{3})$

解题步骤 2.3.7

通过指数相加将 $y^{- 8}$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

移动 $y^{3}$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 (y^{3} y^{- 8}))$

解题步骤 2.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{3 - 8})$

解题步骤 2.3.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$0 - 28 y^{- 3} + 15 (- 4 y^{- 5})$

解题步骤 2.3.8

将 $- 4$ 乘以 $15$ 。

$0 - 28 y^{- 3} - 60 y^{- 5}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 y^{- 5}$

解题步骤 2.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 - 28 \frac{1}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

组合 $- 28$ 和 $\frac{1}{y^{3}}$ 。

$0 + \frac{- 28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

解题步骤 2.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

解题步骤 2.4.3.3

从 $0$ 中减去 $\frac{28}{y^{3}}$ 。

$- \frac{28}{y^{3}} - 60 \frac{1}{y^{5}}$

解题步骤 2.4.3.4

组合 $- 60$ 和 $\frac{1}{y^{5}}$ 。

$- \frac{28}{y^{3}} + \frac{- 60}{y^{5}}$

解题步骤 2.4.3.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (y) = - \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

解题步骤 3

$f (y)$ 对 $y$ 的二阶导数是 $- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$ 。

$- \frac{28}{y^{3}} - \frac{60}{y^{5}}$

微积分学 示例

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