微积分学示例

$g (x) = x f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d x} [x \frac{1}{f} x]$

解题步骤 1.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{f}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{f} x]$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{x}{f}$ 和 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x}{f}]$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} x}{f}]$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} x^{1}}{f}]$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1 + 1}}{f}]$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{f}]$

解题步骤 1.8

因为 $\frac{1}{f}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{f}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{f} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{f} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{f} (2 x)$

解题步骤 1.10

合并分数。

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解题步骤 1.10.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{f}$ 。

$\frac{2}{f} x$

解题步骤 1.10.2

组合 $\frac{2}{f}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{f}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{2}{f}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{f}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{f} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{f} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{f} \cdot 1$

解题步骤 2.3

将 $\frac{2}{f}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{f}$

解题步骤 3

因为 $\frac{2}{f}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{f}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 0$

解题步骤 4

$g (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $0$ 。

$0$

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