微积分学示例

$r (t) = \frac{(2 t - 5)}{4 t^{2} + 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 2 t - 5$ 且 $g (t) = 4 t^{2} + 3$ 。

$\frac{(4 t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [2 t - 5] - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 t - 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 。

$\frac{(4 t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(4 t^{2} + 3) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 t^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 t^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 t^{2} + 3) (2 + 0) - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 t^{2} + 3) \cdot 2 - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 移到 $4 t^{2} + 3$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $4 t^{2} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) (8 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.11

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) (8 t + 0)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12

化简表达式。

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解题步骤 1.2.12.1

将 $8 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - (2 t - 5) (8 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (4 t^{2} + 3) - 8 (2 t - 5) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{2 (4 t^{2}) + 2 \cdot 3 - 8 (2 t - 5) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 (4 t^{2}) + 2 \cdot 3 + (- 8 (2 t) - 8 \cdot - 5) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 (4 t^{2}) + 2 \cdot 3 - 8 (2 t) t - 8 \cdot - 5 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 t^{2} + 2 \cdot 3 - 8 (2 t) t - 8 \cdot - 5 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 t^{2} + 6 - 8 (2 t) t - 8 \cdot - 5 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.3.1

移动 $t$ 。

$\frac{8 t^{2} + 6 - 8 (2 (t \cdot t)) - 8 \cdot - 5 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{8 t^{2} + 6 - 8 (2 t^{2}) - 8 \cdot - 5 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{8 t^{2} + 6 - 16 t^{2} - 8 \cdot - 5 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.1.5

将 $- 8$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{8 t^{2} + 6 - 16 t^{2} + 40 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $8 t^{2}$ 中减去 $16 t^{2}$ 。

$\frac{- 8 t^{2} + 6 + 40 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

重新排序项。

$\frac{- 8 t^{2} + 40 t + 6}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

从 $- 8 t^{2} + 40 t + 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

从 $- 8 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4 t^{2}) + 40 t + 6}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

从 $40 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4 t^{2}) + 2 (20 t) + 6}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4 t^{2}) + 2 (20 t) + 2 (3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

从 $2 (- 4 t^{2}) + 2 (20 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4 t^{2} + 20 t) + 2 (3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

从 $2 (- 4 t^{2} + 20 t) + 2 (3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4 t^{2} + 20 t + 3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7

从 $- 4 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (4 t^{2}) + 20 t + 3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.8

从 $20 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (4 t^{2}) - (- 20 t) + 3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9

从 $- (4 t^{2}) - (- 20 t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (4 t^{2} - 20 t) + 3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.10

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{2 (- (4 t^{2} - 20 t) - 1 (- 3))}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.11

从 $- (4 t^{2} - 20 t) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (4 t^{2} - 20 t - 3))}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.12

将 $- (4 t^{2} - 20 t - 3)$ 重写为 $- 1 (4 t^{2} - 20 t - 3)$ 。

$\frac{2 (- 1 (4 t^{2} - 20 t - 3))}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.3.13

将负号移到分数的前面。

$f' (t) = - \frac{2 (4 t^{2} - 20 t - 3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{2 (4 t^{2} - 20 t - 3)}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [\frac{4 t^{2} - 20 t - 3}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d t} [\frac{4 t^{2} - 20 t - 3}{{(4 t^{2} + 3)}^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 4 t^{2} - 20 t - 3$ 且 $g (t) = {(4 t^{2} + 3)}^{2}$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 20 t - 3] - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{({(4 t^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(4 t^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 20 t - 3] - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 20 t - 3] - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $4 t^{2} - 20 t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 20 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 20 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 20 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 20 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t + \frac{d}{d t} [- 20 t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 20$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 20 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.8

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20 + \frac{d}{d t} [- 3]) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.9

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20 + 0) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.3.10

将 $8 t - 20$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20) - (4 t^{2} - 20 t - 3) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{2}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 4 t^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 t^{2} + 3$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20) - (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20) - (4 t^{2} - 20 t - 3) (2 u \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $4 t^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20) - (4 t^{2} - 20 t - 3) (2 (4 t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) ((4 t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) ((4 t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])$ 中分解出因数 $4 t^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{2} (8 t - 20)$ 中分解出因数 $4 t^{2} + 3$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20)) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) ((4 t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) ((4 t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])$ 中分解出因数 $4 t^{2} + 3$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20)) + (4 t^{2} + 3) (- 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.3

从 $(4 t^{2} + 3) ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20)) + (4 t^{2} + 3) (- 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))$ 中分解出因数 $4 t^{2} + 3$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $4 t^{2} + 3$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{(4 t^{2} + 3) {(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{(4 t^{2} + 3) {(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $4 t^{2} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.8

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (8 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.11

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (8 t + 0)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.12

合并分数。

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解题步骤 2.12.1

将 $8 t$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 2 (4 t^{2} - 20 t - 3) (8 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 \frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 16 (4 t^{2} - 20 t - 3) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.12.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{(4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 16 (4 t^{2} - 20 t - 3) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$ 。

$\frac{- 2 ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 16 (4 t^{2} - 20 t - 3) t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.12.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 16 (4 t^{2} - 20 t - 3) t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$- \frac{2 ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) + (- 16 (4 t^{2}) - 16 (- 20 t) - 16 \cdot - 3) t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.2

运用分配律。

$- \frac{2 ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20) - 16 (4 t^{2}) t - 16 (- 20 t) t - 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3

运用分配律。

$- \frac{2 ((4 t^{2} + 3) (8 t - 20)) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4

化简分子。

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解题步骤 2.13.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.4.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 t^{2} + 3) (8 t - 20)$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.1.1

运用分配律。

$- \frac{2 (4 t^{2} (8 t - 20) + 3 (8 t - 20)) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.1.2

运用分配律。

$- \frac{2 (4 t^{2} (8 t) + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t - 20)) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.1.3

运用分配律。

$- \frac{2 (4 t^{2} (8 t) + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.13.4.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{2 (4 \cdot 8 t^{2} t + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.2.2.1

移动 $t$ 。

$- \frac{2 (4 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.2.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 (4 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 (4 \cdot 8 t^{1 + 2} + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 (4 \cdot 8 t^{3} + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{2 (32 t^{3} + 4 t^{2} \cdot - 20 + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.4

将 $- 20$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{2 (32 t^{3} - 80 t^{2} + 3 (8 t) + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.5

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2 (32 t^{3} - 80 t^{2} + 24 t + 3 \cdot - 20) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2.6

将 $3$ 乘以 $- 20$ 。

$- \frac{2 (32 t^{3} - 80 t^{2} + 24 t - 60) + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.3

运用分配律。

$- \frac{2 (32 t^{3}) + 2 (- 80 t^{2}) + 2 (24 t) + 2 \cdot - 60 + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.4

化简。

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解题步骤 2.13.4.1.4.1

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 t^{3} + 2 (- 80 t^{2}) + 2 (24 t) + 2 \cdot - 60 + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.4.2

将 $- 80$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 2 (24 t) + 2 \cdot - 60 + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.4.3

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t + 2 \cdot - 60 + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.4.4

将 $2$ 乘以 $- 60$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 2 (- 16 (4 t^{2}) t) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.5

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.5.1

移动 $t$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 2 (- 16 (4 (t \cdot t^{2}))) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 2 (- 16 (4 (t^{1} t^{2}))) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 2 (- 16 (4 t^{1 + 2})) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 2 (- 16 (4 t^{3})) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.6

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 2 (- 64 t^{3}) + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.7

将 $- 64$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 2 (- 16 (- 20 t) t) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.8

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.8.1

移动 $t$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 2 (- 16 (- 20 (t \cdot t))) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.8.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 2 (- 16 (- 20 t^{2})) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.9

将 $- 20$ 乘以 $- 16$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 2 (320 t^{2}) + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.10

将 $320$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 640 t^{2} + 2 (- 16 \cdot - 3 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.11

将 $- 16$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 640 t^{2} + 2 (48 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.12

将 $48$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 - 128 t^{3} + 640 t^{2} + 96 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.2

从 $64 t^{3}$ 中减去 $128 t^{3}$ 。

$- \frac{- 64 t^{3} - 160 t^{2} + 48 t - 120 + 640 t^{2} + 96 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.3

将 $- 160 t^{2}$ 和 $640 t^{2}$ 相加。

$- \frac{- 64 t^{3} + 480 t^{2} + 48 t - 120 + 96 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.4

将 $48 t$ 和 $96 t$ 相加。

$- \frac{- 64 t^{3} + 480 t^{2} + 144 t - 120}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5

从 $- 64 t^{3} + 480 t^{2} + 144 t - 120$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 2.13.5.1

从 $- 64 t^{3}$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3}) + 480 t^{2} + 144 t - 120}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5.2

从 $480 t^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3}) + 8 (60 t^{2}) + 144 t - 120}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5.3

从 $144 t$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3}) + 8 (60 t^{2}) + 8 (18 t) - 120}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5.4

从 $- 120$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3}) + 8 (60 t^{2}) + 8 (18 t) + 8 (- 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5.5

从 $8 (- 8 t^{3}) + 8 (60 t^{2})$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3} + 60 t^{2}) + 8 (18 t) + 8 (- 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5.6

从 $8 (- 8 t^{3} + 60 t^{2}) + 8 (18 t)$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3} + 60 t^{2} + 18 t) + 8 (- 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.5.7

从 $8 (- 8 t^{3} + 60 t^{2} + 18 t) + 8 (- 15)$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8 (- 8 t^{3} + 60 t^{2} + 18 t - 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.6

从 $- 8 t^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3}) + 60 t^{2} + 18 t - 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.7

从 $60 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3}) - (- 60 t^{2}) + 18 t - 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.8

从 $- (8 t^{3}) - (- 60 t^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3} - 60 t^{2}) + 18 t - 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.9

从 $18 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3} - 60 t^{2}) - (- 18 t) - 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.10

从 $- (8 t^{3} - 60 t^{2}) - (- 18 t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t) - 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.11

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t) - 1 (15))}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.12

从 $- (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t) - 1 (15)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{8 (- (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15))}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.13

将 $- (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)$ 重写为 $- 1 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)$ 。

$- \frac{8 (- 1 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15))}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.14

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{8 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{8 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 2.13.16

将 $\frac{8 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (t) = \frac{8 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{8 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15)}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [\frac{8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}]$ 。

$8 \frac{d}{d t} [\frac{8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15}{{(4 t^{2} + 3)}^{3}}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15$ 且 $g (t) = {(4 t^{2} + 3)}^{3}$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15] - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{({(4 t^{2} + 3)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(4 t^{2} + 3)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15] - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15] - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 60 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 60 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 60 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 60 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 60 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $- 60$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 60 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 60 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 60 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.8

将 $2$ 乘以 $- 60$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t + \frac{d}{d t} [- 18 t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 18$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 18 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.11

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18 + \frac{d}{d t} [15]) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.12

因为 $15$ 对于 $t$ 是常数，所以 $15$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18 + 0) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.3.13

将 $24 t^{2} - 120 t - 18$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) \frac{d}{d t} [{(4 t^{2} + 3)}^{3}]}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 4 t^{2} + 3$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 t^{2} + 3$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $4 t^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18) - (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (3 {(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) ({(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.5.2

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) ({(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])$ 中分解出因数 ${(4 t^{2} + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{3} (24 t^{2} - 120 t - 18)$ 中分解出因数 ${(4 t^{2} + 3)}^{2}$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18)) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) ({(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.5.2.2

从 $- 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) ({(4 t^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])$ 中分解出因数 ${(4 t^{2} + 3)}^{2}$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18)) + {(4 t^{2} + 3)}^{2} (- 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.5.2.3

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{2} ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18)) + {(4 t^{2} + 3)}^{2} (- 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))$ 中分解出因数 ${(4 t^{2} + 3)}^{2}$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{{(4 t^{2} + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.6

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 ${(4 t^{2} + 3)}^{6}$ 中分解出因数 ${(4 t^{2} + 3)}^{2}$ 。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{{(4 t^{2} + 3)}^{2} {(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$8 \frac{{(4 t^{2} + 3)}^{2} ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3]))}{{(4 t^{2} + 3)}^{2} {(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2} + 3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $4 t^{2} + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.8

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (8 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.11

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (8 t + 0)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.12

合并分数。

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解题步骤 3.12.1

将 $8 t$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 3 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) (8 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.12.2

将 $8$ 乘以 $- 3$ 。

$8 \frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 24 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.12.3

组合 $8$ 和 $\frac{(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 24 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) t}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$ 。

$\frac{8 ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 24 (8 t^{3} - 60 t^{2} - 18 t + 15) t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

运用分配律。

$\frac{8 ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) + (- 24 (8 t^{3}) - 24 (- 60 t^{2}) - 24 (- 18 t) - 24 \cdot 15) t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.2

运用分配律。

$\frac{8 ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18) - 24 (8 t^{3}) t - 24 (- 60 t^{2}) t - 24 (- 18 t) t - 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.3

运用分配律。

$\frac{8 ((4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18)) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4

化简分子。

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解题步骤 3.13.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.4.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 t^{2} + 3) (24 t^{2} - 120 t - 18)$ 。

$\frac{8 (4 t^{2} (24 t^{2}) + 4 t^{2} (- 120 t) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.13.4.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 (4 \cdot 24 t^{2} t^{2} + 4 t^{2} (- 120 t) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.2.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$\frac{8 (4 \cdot 24 (t^{2} t^{2}) + 4 t^{2} (- 120 t) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 (4 \cdot 24 t^{2 + 2} + 4 t^{2} (- 120 t) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 (4 \cdot 24 t^{4} + 4 t^{2} (- 120 t) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $24$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} + 4 t^{2} (- 120 t) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 (96 t^{4} + 4 \cdot - 120 t^{2} t + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.5

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.2.5.1

移动 $t$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} + 4 \cdot - 120 (t \cdot t^{2}) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.2.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 (96 t^{4} + 4 \cdot - 120 (t^{1} t^{2}) + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 (96 t^{4} + 4 \cdot - 120 t^{1 + 2} + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 (96 t^{4} + 4 \cdot - 120 t^{3} + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.6

将 $4$ 乘以 $- 120$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} + 4 t^{2} \cdot - 18 + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.7

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} - 72 t^{2} + 3 (24 t^{2}) + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.8

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} - 72 t^{2} + 72 t^{2} + 3 (- 120 t) + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.9

将 $- 120$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} - 72 t^{2} + 72 t^{2} - 360 t + 3 \cdot - 18) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.2.10

将 $3$ 乘以 $- 18$ 。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} - 72 t^{2} + 72 t^{2} - 360 t - 54) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.3

合并 $96 t^{4} - 480 t^{3} - 72 t^{2} + 72 t^{2} - 360 t - 54$ 中相反的项。

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解题步骤 3.13.4.1.3.1

将 $- 72 t^{2}$ 和 $72 t^{2}$ 相加。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} + 0 - 360 t - 54) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.3.2

将 $96 t^{4} - 480 t^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 (96 t^{4} - 480 t^{3} - 360 t - 54) + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.4

运用分配律。

$\frac{8 (96 t^{4}) + 8 (- 480 t^{3}) + 8 (- 360 t) + 8 \cdot - 54 + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.5

化简。

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解题步骤 3.13.4.1.5.1

将 $96$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} + 8 (- 480 t^{3}) + 8 (- 360 t) + 8 \cdot - 54 + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.5.2

将 $- 480$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} + 8 (- 360 t) + 8 \cdot - 54 + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.5.3

将 $- 360$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t + 8 \cdot - 54 + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.5.4

将 $8$ 乘以 $- 54$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 8 (- 24 (8 t^{3}) t) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.6

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.6.1

移动 $t$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 8 (- 24 (8 (t \cdot t^{3}))) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.6.2

将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.6.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 8 (- 24 (8 (t^{1} t^{3}))) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 8 (- 24 (8 t^{1 + 3})) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 8 (- 24 (8 t^{4})) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.7

将 $8$ 乘以 $- 24$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 8 (- 192 t^{4}) + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.8

将 $- 192$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 8 (- 24 (- 60 t^{2}) t) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.9

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.9.1

移动 $t$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 8 (- 24 (- 60 (t \cdot t^{2}))) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.9.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.9.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 8 (- 24 (- 60 (t^{1} t^{2}))) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 8 (- 24 (- 60 t^{1 + 2})) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.9.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 8 (- 24 (- 60 t^{3})) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.10

将 $- 60$ 乘以 $- 24$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 8 (1440 t^{3}) + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.11

将 $1440$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 8 (- 24 (- 18 t) t) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.12

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.13.4.1.12.1

移动 $t$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 8 (- 24 (- 18 (t \cdot t))) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.12.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 8 (- 24 (- 18 t^{2})) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.13

将 $- 18$ 乘以 $- 24$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 8 (432 t^{2}) + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.14

将 $432$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 3456 t^{2} + 8 (- 24 \cdot 15 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.15

将 $- 24$ 乘以 $15$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 3456 t^{2} + 8 (- 360 t)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.1.16

将 $- 360$ 乘以 $8$ 。

$\frac{768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 - 1536 t^{4} + 11520 t^{3} + 3456 t^{2} - 2880 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.2

从 $768 t^{4}$ 中减去 $1536 t^{4}$ 。

$\frac{- 768 t^{4} - 3840 t^{3} - 2880 t - 432 + 11520 t^{3} + 3456 t^{2} - 2880 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.3

将 $- 3840 t^{3}$ 和 $11520 t^{3}$ 相加。

$\frac{- 768 t^{4} + 7680 t^{3} - 2880 t - 432 + 3456 t^{2} - 2880 t}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.4.4

从 $- 2880 t$ 中减去 $2880 t$ 。

$\frac{- 768 t^{4} + 7680 t^{3} - 5760 t - 432 + 3456 t^{2}}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.5

重新排序项。

$\frac{- 768 t^{4} + 7680 t^{3} + 3456 t^{2} - 5760 t - 432}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6

从 $- 768 t^{4} + 7680 t^{3} + 3456 t^{2} - 5760 t - 432$ 中分解出因数 $48$ 。

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解题步骤 3.13.6.1

从 $- 768 t^{4}$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4}) + 7680 t^{3} + 3456 t^{2} - 5760 t - 432}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.2

从 $7680 t^{3}$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4}) + 48 (160 t^{3}) + 3456 t^{2} - 5760 t - 432}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.3

从 $3456 t^{2}$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4}) + 48 (160 t^{3}) + 48 (72 t^{2}) - 5760 t - 432}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.4

从 $- 5760 t$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4}) + 48 (160 t^{3}) + 48 (72 t^{2}) + 48 (- 120 t) - 432}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.5

从 $- 432$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4}) + 48 (160 t^{3}) + 48 (72 t^{2}) + 48 (- 120 t) + 48 (- 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.6

从 $48 (- 16 t^{4}) + 48 (160 t^{3})$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3}) + 48 (72 t^{2}) + 48 (- 120 t) + 48 (- 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.7

从 $48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3}) + 48 (72 t^{2})$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3} + 72 t^{2}) + 48 (- 120 t) + 48 (- 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.8

从 $48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3} + 72 t^{2}) + 48 (- 120 t)$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3} + 72 t^{2} - 120 t) + 48 (- 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.6.9

从 $48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3} + 72 t^{2} - 120 t) + 48 (- 9)$ 中分解出因数 $48$ 。

$\frac{48 (- 16 t^{4} + 160 t^{3} + 72 t^{2} - 120 t - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.7

从 $- 16 t^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4}) + 160 t^{3} + 72 t^{2} - 120 t - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.8

从 $160 t^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4}) - (- 160 t^{3}) + 72 t^{2} - 120 t - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.9

从 $- (16 t^{4}) - (- 160 t^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3}) + 72 t^{2} - 120 t - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.10

从 $72 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3}) - (- 72 t^{2}) - 120 t - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.11

从 $- (16 t^{4} - 160 t^{3}) - (- 72 t^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2}) - 120 t - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.12

从 $- 120 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2}) - (120 t) - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.13

从 $- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2}) - (120 t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t) - 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.14

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t) - 1 (9))}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.15

从 $- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t) - 1 (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{48 (- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9))}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.16

将 $- (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9)$ 重写为 $- 1 (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9)$ 。

$\frac{48 (- 1 (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9))}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 3.13.17

将负号移到分数的前面。

$f''' (t) = - \frac{48 (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

解题步骤 4

$r (t)$ 对 $t$ 的三阶导数是 $- \frac{48 (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$ 。

$- \frac{48 (16 t^{4} - 160 t^{3} - 72 t^{2} + 120 t + 9)}{{(4 t^{2} + 3)}^{4}}$

微积分学 示例

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