微积分学示例

$f (x) = 3 a^{3 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 a^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

解题步骤 1.2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = a$ 及 $g = 3 x$ 。

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 1.3.2

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 1.3.2.2

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 1.3.2.3

将 $0$ 乘以 $a^{3 x - 1}$ 。

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 1.3.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 相加。

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

解题步骤 1.3.6

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $9 \ln (a)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 a^{3 x} \ln (a)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 。

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

解题步骤 2.2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = a$ 及 $g = 3 x$ 。

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 2.3.2.2

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 2.3.2.3

将 $0$ 乘以 $a^{3 x - 1}$ 。

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 2.3.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 相加。

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 2.4

对 $\ln (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

解题步骤 2.5

对 $\ln (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

解题步骤 2.9

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

解题步骤 2.11

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $27 \ln^{2} (a)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ 对 $x$ 的导数是 $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 。

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

解题步骤 3.2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = a$ 及 $g = 3 x$ 。

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 3.3.2.2

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 3.3.2.3

将 $0$ 乘以 $a^{3 x - 1}$ 。

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 3.3.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 相加。

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 3.4

对 $\ln (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

解题步骤 3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

解题步骤 3.8

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

解题步骤 3.10

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $81 \ln^{3} (a)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ 对 $x$ 的导数是 $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ 。

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

解题步骤 4.2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = a$ 及 $g = 3 x$ 。

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 4.3.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 4.3.2.2

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 4.3.2.3

将 $0$ 乘以 $a^{3 x - 1}$ 。

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 4.3.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ 相加。

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

解题步骤 4.4

对 $\ln (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

解题步骤 4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

解题步骤 4.6

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

解题步骤 4.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

解题步骤 4.8

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

解题步骤 4.10

将 $243$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ 。

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

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