微积分学示例

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 - x)}^{2}$ 重写为 $(1 - x) (1 - x)$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

解题步骤 1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

解题步骤 1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

解题步骤 1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

解题步骤 1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

解题步骤 1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 1.4

根据加法法则， $1 - 2 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 + 2 x$

解题步骤 1.11

重新排序项。

$f' (x) = 2 x - 2$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 0$

解题步骤 4

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 0$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $0$ 。

$0$

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