微积分学示例

$f (t) = (1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}$ 且 $g (t) = 2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) \frac{d}{d t} [2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}] + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2.1 t^{8}] + \frac{d}{d t} [1.8 t^{5}]$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (\frac{d}{d t} [2.1 t^{8}] + \frac{d}{d t} [1.8 t^{5}]) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2.1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2.1 t^{8}$ 对 $t$ 的导数是 $2.1 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (2.1 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [1.8 t^{5}]) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (2.1 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [1.8 t^{5}]) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.4

将 $8$ 乘以 $2.1$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + \frac{d}{d t} [1.8 t^{5}]) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.5

因为 $1.8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1.8 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $1.8 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 1.8 \frac{d}{d t} [t^{5}]) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 1.8 (5 t^{4})) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.7

将 $5$ 乘以 $1.8$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) \frac{d}{d t} [1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}]$

解题步骤 1.2.8

根据加法法则， $1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1.3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [9.1 t^{2}]$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (\frac{d}{d t} [1.3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [9.1 t^{2}])$

解题步骤 1.2.9

因为 $1.3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1.3 t^{7}$ 对 $t$ 的导数是 $1.3 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (1.3 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [9.1 t^{2}])$

解题步骤 1.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (1.3 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [9.1 t^{2}])$

解题步骤 1.2.11

将 $7$ 乘以 $1.3$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + \frac{d}{d t} [9.1 t^{2}])$

解题步骤 1.2.12

因为 $9.1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9.1 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $9.1 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 9.1 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

解题步骤 1.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 9.1 (2 t))$

解题步骤 1.2.14

将 $2$ 乘以 $9.1$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

从 $(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4})$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4})) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.1.2

从 $(2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4})) + 1 ((2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t))$

解题步骤 1.3.1.3

从 $1 ((1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4})) + 1 ((2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t))$

解题步骤 1.3.2

将 $(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$ 乘以 $1$ 。

$(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(1.3 t^{7} + 9.1 t^{2}) (16.8 t^{7} + 9 t^{4})$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

运用分配律。

$1.3 t^{7} (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.1.2

运用分配律。

$1.3 t^{7} (16.8 t^{7}) + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7} + 9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.1.3

运用分配律。

$1.3 t^{7} (16.8 t^{7}) + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$1.3 \cdot 16.8 t^{7} t^{7} + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.2

通过指数相加将 $t^{7}$ 乘以 $t^{7}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

移动 $t^{7}$ 。

$1.3 \cdot 16.8 (t^{7} t^{7}) + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1.3 \cdot 16.8 t^{7 + 7} + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.2.3

将 $7$ 和 $7$ 相加。

$1.3 \cdot 16.8 t^{14} + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.3

将 $1.3$ 乘以 $16.8$ 。

$21.84 t^{14} + 1.3 t^{7} (9 t^{4}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 1.3 \cdot 9 t^{7} t^{4} + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.5

通过指数相加将 $t^{7}$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.5.1

移动 $t^{4}$ 。

$21.84 t^{14} + 1.3 \cdot 9 (t^{4} t^{7}) + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 1.3 \cdot 9 t^{4 + 7} + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.5.3

将 $4$ 和 $7$ 相加。

$21.84 t^{14} + 1.3 \cdot 9 t^{11} + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.6

将 $1.3$ 乘以 $9$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 9.1 t^{2} (16.8 t^{7}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 9.1 \cdot 16.8 t^{2} t^{7} + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.8

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{7}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.8.1

移动 $t^{7}$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 9.1 \cdot 16.8 (t^{7} t^{2}) + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 9.1 \cdot 16.8 t^{7 + 2} + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.8.3

将 $7$ 和 $2$ 相加。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 9.1 \cdot 16.8 t^{9} + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.9

将 $9.1$ 乘以 $16.8$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 9.1 t^{2} (9 t^{4}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.10

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 9.1 \cdot 9 t^{2} t^{4} + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.11

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.11.1

移动 $t^{4}$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 9.1 \cdot 9 (t^{4} t^{2}) + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 9.1 \cdot 9 t^{4 + 2} + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.11.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 9.1 \cdot 9 t^{6} + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.2.12

将 $9.1$ 乘以 $9$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + (2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(2.1 t^{8} + 1.8 t^{5}) (9.1 t^{6} + 18.2 t)$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

运用分配律。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 t^{8} (9.1 t^{6} + 18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.3.2

运用分配律。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 t^{8} (9.1 t^{6}) + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6} + 18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.3.3

运用分配律。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 t^{8} (9.1 t^{6}) + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 \cdot 9.1 t^{8} t^{6} + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.2

通过指数相加将 $t^{8}$ 乘以 $t^{6}$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.2.1

移动 $t^{6}$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 \cdot 9.1 (t^{6} t^{8}) + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 \cdot 9.1 t^{6 + 8} + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.2.3

将 $6$ 和 $8$ 相加。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 2.1 \cdot 9.1 t^{14} + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.3

将 $2.1$ 乘以 $9.1$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 2.1 t^{8} (18.2 t) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 2.1 \cdot 18.2 t^{8} t + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.5

通过指数相加将 $t^{8}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.5.1

移动 $t$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 2.1 \cdot 18.2 (t \cdot t^{8}) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.5.2

将 $t$ 乘以 $t^{8}$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.5.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 2.1 \cdot 18.2 (t^{1} t^{8}) + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 2.1 \cdot 18.2 t^{1 + 8} + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.5.3

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 2.1 \cdot 18.2 t^{9} + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.6

将 $2.1$ 乘以 $18.2$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 1.8 t^{5} (9.1 t^{6}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.7

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 1.8 \cdot 9.1 t^{5} t^{6} + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.8

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t^{6}$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.8.1

移动 $t^{6}$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 1.8 \cdot 9.1 (t^{6} t^{5}) + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 1.8 \cdot 9.1 t^{6 + 5} + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.8.3

将 $6$ 和 $5$ 相加。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 1.8 \cdot 9.1 t^{11} + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.9

将 $1.8$ 乘以 $9.1$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 1.8 t^{5} (18.2 t)$

解题步骤 1.3.3.4.10

使用乘法的交换性质重写。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 1.8 \cdot 18.2 t^{5} t$

解题步骤 1.3.3.4.11

通过指数相加将 $t^{5}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.11.1

移动 $t$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 1.8 \cdot 18.2 (t \cdot t^{5})$

解题步骤 1.3.3.4.11.2

将 $t$ 乘以 $t^{5}$ 。

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解题步骤 1.3.3.4.11.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 1.8 \cdot 18.2 (t^{1} t^{5})$

解题步骤 1.3.3.4.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 1.8 \cdot 18.2 t^{1 + 5}$

解题步骤 1.3.3.4.11.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 1.8 \cdot 18.2 t^{6}$

解题步骤 1.3.3.4.12

将 $1.8$ 乘以 $18.2$ 。

$21.84 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 19.11 t^{14} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 32.76 t^{6}$

解题步骤 1.3.4

将 $21.84 t^{14}$ 和 $19.11 t^{14}$ 相加。

$40.95 t^{14} + 11.7 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 38.22 t^{9} + 16.38 t^{11} + 32.76 t^{6}$

解题步骤 1.3.5

将 $11.7 t^{11}$ 和 $16.38 t^{11}$ 相加。

$40.95 t^{14} + 28.08 t^{11} + 152.88 t^{9} + 81.9 t^{6} + 38.22 t^{9} + 32.76 t^{6}$

解题步骤 1.3.6

将 $152.88 t^{9}$ 和 $38.22 t^{9}$ 相加。

$40.95 t^{14} + 28.08 t^{11} + 191.1 t^{9} + 81.9 t^{6} + 32.76 t^{6}$

解题步骤 1.3.7

将 $81.9 t^{6}$ 和 $32.76 t^{6}$ 相加。

$f' (t) = 40.95 t^{14} + 28.08 t^{11} + 191.1 t^{9} + 114.66 t^{6}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $40.95 t^{14} + 28.08 t^{11} + 191.1 t^{9} + 114.66 t^{6}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [40.95 t^{14}] + \frac{d}{d t} [28.08 t^{11}] + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$ 。

$\frac{d}{d t} [40.95 t^{14}] + \frac{d}{d t} [28.08 t^{11}] + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [40.95 t^{14}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $40.95$ 对于 $t$ 是常数，所以 $40.95 t^{14}$ 对 $t$ 的导数是 $40.95 \frac{d}{d t} [t^{14}]$ 。

$40.95 \frac{d}{d t} [t^{14}] + \frac{d}{d t} [28.08 t^{11}] + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 14$ 。

$40.95 (14 t^{13}) + \frac{d}{d t} [28.08 t^{11}] + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.2.3

将 $14$ 乘以 $40.95$ 。

$573.3 t^{13} + \frac{d}{d t} [28.08 t^{11}] + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [28.08 t^{11}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $28.08$ 对于 $t$ 是常数，所以 $28.08 t^{11}$ 对 $t$ 的导数是 $28.08 \frac{d}{d t} [t^{11}]$ 。

$573.3 t^{13} + 28.08 \frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 11$ 。

$573.3 t^{13} + 28.08 (11 t^{10}) + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.3.3

将 $11$ 乘以 $28.08$ 。

$573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + \frac{d}{d t} [191.1 t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d t} [191.1 t^{9}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $191.1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $191.1 t^{9}$ 对 $t$ 的导数是 $191.1 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ 。

$573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 191.1 \frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 191.1 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.4.3

将 $9$ 乘以 $191.1$ 。

$573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 1719.9 t^{8} + \frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d t} [114.66 t^{6}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $114.66$ 对于 $t$ 是常数，所以 $114.66 t^{6}$ 对 $t$ 的导数是 $114.66 \frac{d}{d t} [t^{6}]$ 。

$573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 1719.9 t^{8} + 114.66 \frac{d}{d t} [t^{6}]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 1719.9 t^{8} + 114.66 (6 t^{5})$

解题步骤 2.5.3

将 $6$ 乘以 $114.66$ 。

$f'' (t) = 573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 1719.9 t^{8} + 687.96 t^{5}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $573.3 t^{13} + 308.88 t^{10} + 1719.9 t^{8} + 687.96 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [573.3 t^{13}] + \frac{d}{d t} [308.88 t^{10}] + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$ 。

$\frac{d}{d t} [573.3 t^{13}] + \frac{d}{d t} [308.88 t^{10}] + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [573.3 t^{13}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $573.3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $573.3 t^{13}$ 对 $t$ 的导数是 $573.3 \frac{d}{d t} [t^{13}]$ 。

$573.3 \frac{d}{d t} [t^{13}] + \frac{d}{d t} [308.88 t^{10}] + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 13$ 。

$573.3 (13 t^{12}) + \frac{d}{d t} [308.88 t^{10}] + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.2.3

将 $13$ 乘以 $573.3$ 。

$7452.9 t^{12} + \frac{d}{d t} [308.88 t^{10}] + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d t} [308.88 t^{10}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $308.88$ 对于 $t$ 是常数，所以 $308.88 t^{10}$ 对 $t$ 的导数是 $308.88 \frac{d}{d t} [t^{10}]$ 。

$7452.9 t^{12} + 308.88 \frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$7452.9 t^{12} + 308.88 (10 t^{9}) + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.3.3

将 $10$ 乘以 $308.88$ 。

$7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + \frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d t} [1719.9 t^{8}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $1719.9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1719.9 t^{8}$ 对 $t$ 的导数是 $1719.9 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ 。

$7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 1719.9 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 1719.9 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.4.3

将 $8$ 乘以 $1719.9$ 。

$7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 13759.2 t^{7} + \frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d t} [687.96 t^{5}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $687.96$ 对于 $t$ 是常数，所以 $687.96 t^{5}$ 对 $t$ 的导数是 $687.96 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ 。

$7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 13759.2 t^{7} + 687.96 \frac{d}{d t} [t^{5}]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 13759.2 t^{7} + 687.96 (5 t^{4})$

解题步骤 3.5.3

将 $5$ 乘以 $687.96$ 。

$f''' (t) = 7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 13759.2 t^{7} + 3439.8 t^{4}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $7452.9 t^{12} + 3088.8 t^{9} + 13759.2 t^{7} + 3439.8 t^{4}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [7452.9 t^{12}] + \frac{d}{d t} [3088.8 t^{9}] + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$ 。

$\frac{d}{d t} [7452.9 t^{12}] + \frac{d}{d t} [3088.8 t^{9}] + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d t} [7452.9 t^{12}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $7452.9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7452.9 t^{12}$ 对 $t$ 的导数是 $7452.9 \frac{d}{d t} [t^{12}]$ 。

$7452.9 \frac{d}{d t} [t^{12}] + \frac{d}{d t} [3088.8 t^{9}] + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 12$ 。

$7452.9 (12 t^{11}) + \frac{d}{d t} [3088.8 t^{9}] + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.2.3

将 $12$ 乘以 $7452.9$ 。

$89434.8 t^{11} + \frac{d}{d t} [3088.8 t^{9}] + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d t} [3088.8 t^{9}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $3088.8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3088.8 t^{9}$ 对 $t$ 的导数是 $3088.8 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ 。

$89434.8 t^{11} + 3088.8 \frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$89434.8 t^{11} + 3088.8 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.3.3

将 $9$ 乘以 $3088.8$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + \frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d t} [13759.2 t^{7}]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $13759.2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $13759.2 t^{7}$ 对 $t$ 的导数是 $13759.2 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 13759.2 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 13759.2 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.4.3

将 $7$ 乘以 $13759.2$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 96314.4 t^{6} + \frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$

解题步骤 4.5

计算 $\frac{d}{d t} [3439.8 t^{4}]$ 。

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解题步骤 4.5.1

因为 $3439.8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3439.8 t^{4}$ 对 $t$ 的导数是 $3439.8 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 96314.4 t^{6} + 3439.8 \frac{d}{d t} [t^{4}]$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 96314.4 t^{6} + 3439.8 (4 t^{3})$

解题步骤 4.5.3

将 $4$ 乘以 $3439.8$ 。

$f^{4} (t) = 89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 96314.4 t^{6} + 13759.2 t^{3}$

解题步骤 5

$f (t)$ 对于 $t$ 的四阶导数是 $89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 96314.4 t^{6} + 13759.2 t^{3}$ 。

$89434.8 t^{11} + 27799.2 t^{8} + 96314.4 t^{6} + 13759.2 t^{3}$

微积分学 示例

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