微积分学示例

$\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$

解题步骤 1

将 $\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\sqrt{x^{2} - 3} - x > 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

在不等式两边同时加上 $x$ 。

$\sqrt{x^{2} - 3} > x$

解题步骤 2.2

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{x^{2} - 3}}^{2} > x^{2}$

解题步骤 2.3

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 3}$ 重写成 ${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} - 3)}^{1} > x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

化简。

$x^{2} - 3 > x^{2}$

解题步骤 2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将所有包含 $x$ 的项移到不等式左边。

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解题步骤 2.4.1.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x^{2} - 3 - x^{2} > 0$

解题步骤 2.4.1.2

合并 $x^{2} - 3 - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.4.1.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$0 - 3 > 0$

解题步骤 2.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3 > 0$

解题步骤 2.4.2

因为 $- 3 < 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

将 $\sqrt{x^{2} - 3}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 3 \geq 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

在不等式两边同时加上 $3$ 。

$x^{2} \geq 3$

解题步骤 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

解题步骤 4.3

化简左边。

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解题步骤 4.3.1

从根式下提出各项。

$| x | \geq \sqrt{3}$

解题步骤 4.4

将 $| x | \geq \sqrt{3}$ 书写为分段式。

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解题步骤 4.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 4.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \geq \sqrt{3}$

解题步骤 4.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 4.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \geq \sqrt{3}$

解题步骤 4.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 4.5

求 $x \geq \sqrt{3}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x \geq \sqrt{3}$

解题步骤 4.6

将 $- x \geq \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.6.1

将 $- x \geq \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 4.6.2

化简左边。

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解题步骤 4.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 4.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 4.6.3

化简右边。

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解题步骤 4.6.3.1

移动 $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 4.6.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$x \leq - \sqrt{3}$

解题步骤 4.7

求解的并集。

$x \leq - \sqrt{3}$ 或 $x \geq \sqrt{3}$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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