微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.5

在公分母上合并分子。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.3.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 1.2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 1.2.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 1.2.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 1.2.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 1.2.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

解题步骤 1.2.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 1.2.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 1.2.2.8

在公分母上合并分子。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 1.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

解题步骤 1.2.2.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

解题步骤 1.2.2.10

将负号移到分数的前面。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

解题步骤 1.2.2.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 1.2.2.12

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 1.2.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 1.2.2.13.2

在公分母上合并分子。

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

解题步骤 1.2.2.13.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

解题步骤 1.2.2.13.4

将负号移到分数的前面。

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 1.2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 1.2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x + 1 (\frac{2}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.2.16

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$2 x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2.2.17

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$2 x + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 1.2.2.18

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$9 x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.3

将 $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $9 x^{\frac{4}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $9 x^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 x (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

移动 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

将 $x^{\frac{4}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x^{1}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.4

在公分母上合并分子。

$2 \cdot 9 x^{\frac{4 + 3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.2.5

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$2 \cdot 9 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.5.1

约去公因数。

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.5.2

重写表达式。

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.6

约去 $x^{\frac{4}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.6.1

约去公因数。

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.2.1.6.2

重写表达式。

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

乘以 $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$18 x^{\frac{7}{3}} = - 2$

解题步骤 2.4.2

将方程两边同时进行 $\frac{3}{7}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.1

化简 ${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

对 $18 x^{\frac{7}{3}}$ 运用乘积法则。

$18^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.2

将 ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.1.2.2.1

约去公因数。

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.2.2

重写表达式。

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.1.2.3.1

约去公因数。

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.2.3.2

重写表达式。

$18^{\frac{3}{7}} x^{1} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.3

化简。

$18^{\frac{3}{7}} x = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.3.1.4

将 $18^{\frac{3}{7}} x$ 中的因式重新排序。

$x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 2.4.4

将 $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ 中的每一项除以 $18^{\frac{3}{7}}$ 并化简。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ 中的每一项都除以 $18^{\frac{3}{7}}$ 。

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 2.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.2.1

约去公因数。

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 2.4.4.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ 代入 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

合并。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1 {({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 ${(18^{\frac{3}{7}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

乘以 $\frac{3}{7} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.4.2.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.5

将 ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.5.2

乘以 $\frac{3}{7} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.5.2.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.5.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.1.2.1.6

对 $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.7

将 ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.7.2.1

约去公因数。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.2.2

重写表达式。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.8

将 ${(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.8.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.8.2.1

约去公因数。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.1.2.1.8.2.2

重写表达式。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2.1.8.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.2

要将 $- \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}$ 的形式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $\frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ 乘以 $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}$

解题步骤 3.1.2.3.2

通过指数相加将 $18^{\frac{2}{7}}$ 乘以 $18^{\frac{7}{7}}$ 。

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解题步骤 3.1.2.3.2.1

移动 $18^{\frac{7}{7}}$ 。

解题步骤 3.1.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 3.1.2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{7 + 2}{7}} \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.3.2.4

将 $7$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{9}{7}} \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.3.3

重新排序 $18^{\frac{9}{7}} \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.4.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1

约去公因数。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.4.2.2

重写表达式。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18)}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.5.2

计算指数。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.5.3

将 $18$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.1.2.6

最终答案为 $\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$ 。

$\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ 代入 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ 中求得的点为 $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) \cup (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.48997693$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.48997693) = 2 (- 0.48997693) + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 0.48997693$ 。

$f'' (- 0.48997693) = - 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.3

在 $- 0.48997693$ ，二阶导数为 $- 0.40466412$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.28997693$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.28997693) = 2 (- 0.28997693) + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $- 0.28997693$ 。

$f'' (- 0.28997693) = - 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.3

在 $- 0.28997693$ 处，二阶导数为 $0.57785322$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ 。

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例