微积分学示例

$g (x) = 2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$8 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$8 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x^{3} + 24 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $8 x^{3} + 24 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 8 x^{3} + 24 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $8 x^{3} + 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x^{2} + 24 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 24$

解题步骤 1.3

$g (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $24 x^{2} + 24$ 。

$24 x^{2} + 24$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{2} + 24 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $24$ 。

$24 x^{2} = - 24$

解题步骤 2.3

将 $24 x^{2} = - 24$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $24 x^{2} = - 24$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 24}{24}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 24$ 除以 $24$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.5

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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