微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\sqrt{x}$ 。

$f (x) - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) - \sqrt{x} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 0$

解题步骤 2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = 0$

解题步骤 2.2.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} = 0$

解题步骤 2.2.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} = 0$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} = 0$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

解题步骤 2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.4.1

约去公因数。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2.6.4.2

重写表达式。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}} = 0$

解题步骤 2.2.6.5

化简。

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = 0$

解题步骤 3

使用直线方程的公式求 $m$ 的值。

$y = m x + b$

解题步骤 4

将 $b$ 的值代入方程中。

$y = m x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 5

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

解题步骤 6

将 $y$ 的值代入方程中。

$\frac{5}{2} = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

解题步骤 7

求 $m$ 的值。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$ 。

$m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2

化简 $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $4$ 移到 $m$ 的左侧。

$4 m + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 移到 $f$ 的左侧。

$4 m + 4 f - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 m + 4 f - \sqrt{2^{2}} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 m + 4 f - 1 \cdot 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{2^{2}}}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.7

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.7.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 (1)}{4} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.7.2.2

约去公因数。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.7.2.3

重写表达式。

$4 m + 4 f - 2 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 m + 4 f - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$4 m + 4 f + \frac{- 4 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$4 m + 4 f + \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.6

将负号移到分数的前面。

$4 m + 4 f - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $m$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1

从等式两边同时减去 $4 f$ 。

$4 m - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - 4 f$

解题步骤 7.3.2

在等式两边都加上 $\frac{5}{2}$ 。

$4 m = \frac{5}{2} - 4 f + \frac{5}{2}$

解题步骤 7.3.3

在公分母上合并分子。

$4 m = - 4 f + \frac{5 + 5}{2}$

解题步骤 7.3.4

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$4 m = - 4 f + \frac{10}{2}$

解题步骤 7.3.5

用 $10$ 除以 $2$ 。

$4 m = - 4 f + 5$

解题步骤 7.4

将 $4 m = - 4 f + 5$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $4 m = - 4 f + 5$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.2.1.2

用 $m$ 除以 $1$ 。

$m = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.3.1

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.3.1.1

从 $- 4 f$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{4 (- f)}{4} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{4 (- f)}{4 (1)} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.3.1.2.2

约去公因数。

$m = \frac{4 (- f)}{4 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.3.1.2.3

重写表达式。

$m = \frac{- f}{1} + \frac{5}{4}$

解题步骤 7.4.3.1.2.4

用 $- f$ 除以 $1$ 。

$m = - f + \frac{5}{4}$

解题步骤 8

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = (- f + \frac{5}{4}) x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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