微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{5} x^{10}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{3}{5} \cdot {(x + h)}^{10}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 ${(x + h)}^{10}$ 。

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$ 。

$\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5} - (\frac{3 x^{10}}{5})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2

以因式分解的形式重写 $\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $3 {(x + h)}^{10}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.1.2

从 $- 3 x^{10}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.1.3

从 $3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 ({(x + h)}^{10} - x^{10})}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${(x + h)}^{10}$ 重写为 ${({(x + h)}^{5})}^{2}$ 。

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - x^{10})}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $x^{10}$ 重写为 ${(x^{5})}^{2}$ 。

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - {(x^{5})}^{2})}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{5}$ 和 $b = x^{5}$ 。

$\frac{\frac{3 (({(x + h)}^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5

化简。

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解题步骤 4.1.2.5.1

使用二项式定理。

$\frac{\frac{3 ((x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $x^{5}$ 和 $x^{5}$ 相加。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.3

使用二项式定理。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.4

从 $x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + 0))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.5

将 $5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6

从 $5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.2.5.6.1

从 $5 x^{4} h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.2

从 $10 x^{3} h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.3

从 $10 x^{2} h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.4

从 $5 x h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h^{5}))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.5

从 $h^{5}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.6

从 $h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.7

从 $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.8

从 $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

解题步骤 4.1.2.5.6.9

从 $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

合并。

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

解题步骤 4.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5}$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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