微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(3, \sqrt{3})$

解题步骤 1

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 1.1

计算 $f (x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 3$ 处的值。

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解题步骤 1.1.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.1.2.1

去掉圆括号。

$f (3) = \sqrt{3}$

解题步骤 1.1.2.2

最终答案为 $\sqrt{3}$ 。

$\sqrt{3}$

解题步骤 1.2

由于 $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 2

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = \sqrt{x}$ 的导数

解题步骤 3

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $\sqrt{x + h}$ 。

$\sqrt{x + h}$

解题步骤 4.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $\sqrt{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

解题步骤 7

因为 $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ 的定义域中没有 $0$ 左侧的值，所以该极限不存在。

$不存在$

解题步骤 8

求斜率 $m$ 。在本例中，即 $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ 。

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解题步骤 8.1

将 $e$ 乘以 $3$ 。

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

解题步骤 8.2

去掉圆括号。

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

解题步骤 9

斜率为 $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ ，该点是 $(3, \sqrt{3})$ 。

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

$m = (3, \sqrt{3})$

解题步骤 10

将 $e$ 乘以 $3$ 。

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

解题步骤 11

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 11.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 11.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot x + b$

解题步骤 11.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

解题步骤 11.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$\sqrt{3} = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

解题步骤 11.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 11.5.1

将方程重写为 $D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$ 。

$D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2

化简每一项。

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解题步骤 11.5.2.1

通过指数相加将 $o$ 乘以 $o$ 。

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解题步骤 11.5.2.1.1

移动 $o$ 。

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.1.2

将 $o$ 乘以 $o$ 。

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.2

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 11.5.2.2.1

移动 $s$ 。

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.2.2

将 $s$ 乘以 $s$ 。

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 11.5.2.3.1

移动 $t$ 。

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.4

将 $3$ 移到 $e$ 的左侧。

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 \cdot e i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.5

乘以 $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 e i)$ 。

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解题步骤 11.5.2.5.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.5.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{1 + 1} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{2} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.6

将 $3$ 移到 $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ 的左侧。

$3 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.2.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = \sqrt{3}$

解题步骤 11.5.3

从等式两边同时减去 $9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ 。

$b = \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

解题步骤 12

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 3 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

解题步骤 13

微积分学 示例

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