微积分学示例

$f (x) = 7 x + 3$ ; $(1, 10)$

解题步骤 1

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 1.1

计算 $f (x) = 7 x + 3$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 7 (1) + 3$

解题步骤 1.1.2

化简结果。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 7 + 3$

解题步骤 1.1.2.2

将 $7$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = 10$

解题步骤 1.1.2.3

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 1.2

由于 $10 = 10$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 2

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = 7 x + 3$ 的导数

解题步骤 3

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 7 (x + h) + 3$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 7 x + 7 h + 3$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $7 x + 7 h + 3$ 。

$7 x + 7 h + 3$

解题步骤 4.2

将 $7 x$ 和 $7 h$ 重新排序。

$7 h + 7 x + 3$

解题步骤 4.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x + 3)}{h}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x) - 1 \cdot 3}{h}$

解题步骤 6.1.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 1 \cdot 3}{h}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 3}{h}$

解题步骤 6.1.4

从 $7 x$ 中减去 $7 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0 + 3 - 3}{h}$

解题步骤 6.1.5

将 $7 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 3 - 3}{h}$

解题步骤 6.1.6

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0}{h}$

解题步骤 6.1.7

将 $7 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

解题步骤 6.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

解题步骤 6.2.2

用 $7$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7$

解题步骤 7

计算 $7$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$7$

解题步骤 8

斜率为，该点是 $(1, 10)$ 。

$m = 7, (1, 10)$

解题步骤 9

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 9.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 9.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (7) \cdot x + b$

解题步骤 9.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (7) \cdot (1) + b$

解题步骤 9.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$10 = (7) \cdot (1) + b$

解题步骤 9.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 9.5.1

将方程重写为 $(7) \cdot (1) + b = 10$ 。

$(7) \cdot (1) + b = 10$

解题步骤 9.5.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 + b = 10$

解题步骤 9.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.5.3.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$b = 10 - 7$

解题步骤 9.5.3.2

从 $10$ 中减去 $7$ 。

$b = 3$

解题步骤 10

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 7 x + 3$

解题步骤 11

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