微积分学示例

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 7]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \ln (x)$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在 $[1, 7]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \ln (x)$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 2.1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[1, 7]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 4

判断导数在 $(1, 7)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $(1, 7)$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = \frac{1}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 4.1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(1, 7)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(1, 7)$ 上可微，因为其导数在 $(1, 7)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[1, 7]$ 上连续，并且在 $(1, 7)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[1, 7]$ 上连续，在 $(1, 7)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[1, 7]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln (1)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 8

在区间 $[1, 7]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = \ln (7)$

解题步骤 8.2

最终答案为 $\ln (7)$ 。

$\ln (7)$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $\frac{1}{x} = \frac{- (f (7) + f (1))}{- (7 + 1)}$ 。

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解题步骤 9.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7) + 0}{(7) - (1)}$

解题步骤 9.1.2

将 $\ln (7)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{(7) - (1)}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{7 - 1}$

解题步骤 9.1.4

从 $7$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{6}$

解题步骤 9.1.5

将 $\frac{\ln (7)}{6}$ 重写为 $\frac{1}{6} \ln (7)$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} \ln (7)$

解题步骤 9.1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{6} \ln (7)$ 。

$\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$

解题步骤 9.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 9.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 9.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 9.3

将 $\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

解题步骤 9.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\ln (7^{\frac{1}{6}}) x$ 中的因式重新排序。

$1 = x \ln (7^{\frac{1}{6}})$

解题步骤 9.4

求解方程。

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解题步骤 9.4.1

将方程重写为 $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ 。

$x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$

解题步骤 9.4.2

将 $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ 中的每一项除以 $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ 并化简。

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解题步骤 9.4.2.1

将 $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ 中的每一项都除以 $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ 。

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

解题步骤 9.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

解题步骤 9.4.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

解题步骤 10

点 $x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 1$ 和 $b = 7$ 的直线平行。

解题步骤 11

微积分学 示例

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